Gib die Basis in das Feld „Rationale Basis“ und den Exponenten in „Ganzzahliger Exponent“ ein. Nach einem Klick auf „Berechnen“ erscheint das Ergebnis schon gekürzt. Das Beispiel unten verbindet eine negative Basis mit einem negativen Exponenten. Die Theorie, auch zu gebrochenen Exponenten, steht im Ratgeber zu negativen und gebrochenen Exponenten; hier wird mit ganzzahligen Exponenten gerechnet.
Beispiel: (−2/3) hoch −3
Berechne (−2/3)^−3 und entscheide, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist.
- Kehrwert bilden. Der Exponent ist negativ, also nimmst du den Kehrwert der Basis und den positiven Exponenten: (−2/3)^−3 = (−3/2)^3. Das Vorzeichen bleibt im Bruch.
- Vorzeichen bestimmen. Der Exponent 3 ist ungerade, also ist das Ergebnis negativ.
- Zähler und Nenner potenzieren. 3³ = 27 und 2³ = 8, somit ist (−3/2)^3 = −27/8.
- Bei Bedarf als gemischte Zahl schreiben. 27 : 8 ergibt 3 Rest 3, also −27/8 = −3 3/8.
Ergebnis: (−2/3)^−3 = −27/8.
Probe: (−2/3)^3 = −8/27, und das Produkt von −8/27 und −27/8 ist 1. Die beiden Potenzen sind Kehrwerte voneinander, wie es bei entgegengesetzten Exponenten sein muss.
So potenziert man einen Bruch
Hoch n heißt, den Bruch n-mal mit sich selbst zu multiplizieren. Das ist dasselbe, wie Zähler und Nenner einzeln zu potenzieren: (a/b)^n = a^n/b^n. Bei 7/10 zum Quadrat ist 7² = 49 und 10² = 100, es ergibt sich also 49/100. Ein häufiger Fehler ist, nur den Zähler zu potenzieren oder den Bruch mit dem Exponenten zu multiplizieren, was 14/10 ergäbe.
Der negative Exponent folgt aus dieser Regel, wenn du sie nach unten fortsetzt. Mit jedem Schritt, um den der Exponent sinkt, wird der Wert durch die Basis geteilt. Von (7/10)^1 zu (7/10)^0 teilst du 7/10 durch 7/10 und erhältst 1, ein Schritt weiter ergibt 10/7. Deshalb gilt (a/b)^−n = (b/a)^n für a ≠ 0: Der negative Exponent verlangt den Kehrwert, nicht die Gegenzahl, und das Ergebnis, 100/49, bleibt positiv. Dieselbe Schrittfolge erklärt, warum der Exponent 0 bei jeder Basis ungleich null 1 ergibt.
Eine Dezimalzahl oder gemischte Zahl wandelst du vorher in einen Bruch um: 0,25 ist 1/4, also ergibt 0,25 zum Quadrat 1/16, und 1 1/2 ist 3/2, sein Quadrat daher 9/4.
Welches Vorzeichen und welche Form hat das Ergebnis?
Das Vorzeichen hängt von der Basis und davon ab, ob der Exponent gerade oder ungerade ist; die Form hängt davon ab, ob er negativ ist. Die Tabelle fasst die fünf Fälle zusammen, die du unterscheiden solltest.
| Fall | Beispiel | Was passiert |
|---|---|---|
| Negative Basis, gerader Exponent | (−1/3)^2 = 1/9 | Das Ergebnis ist positiv |
| Negative Basis, ungerader Exponent | (−1/3)^3 = −1/27 | Das Ergebnis ist negativ |
| Positive Basis, negativer Exponent | (5/2)^−2 = 4/25 | Kehrwert bilden, das Ergebnis bleibt positiv |
| Negative Basis, negativer Exponent | (−1/5)^−3 = −125 | Kehrwert bilden, das Vorzeichen folgt dem Exponenten (gerade oder ungerade) |
| Exponent null | (9/8)^0 = 1 | Ergibt 1, egal welche Basis ungleich null |
Bei geradem Exponenten verschwindet das Vorzeichen, bei ungeradem bleibt es, und der negative Exponent ersetzt den Bruch nur durch seinen Kehrwert. Liegt die Basis zwischen 0 und 1, ist ihre Potenz mit positivem Exponenten (2 oder mehr) kleiner als die Basis. Ist die Basis größer als 1, ist die Potenz mit negativem Exponenten kleiner als die Basis.
Übe die drei Fälle
Die drei Aufgaben decken den geraden und den ungeraden Exponenten sowie den Exponenten null ab, also die Fälle mit den meisten Fehlern. Rechne sie zuerst von Hand und prüfe danach mit dem Rechner.
Übung
- Berechne (−4/5)^2 mit geradem Exponenten.
- Berechne (−2/5)^3 mit ungeradem Exponenten.
- Berechne (3/10)^0 mit Exponent null.
Lösungen anzeigen
- 16/25, denn 4² = 16, 5² = 25, und das Vorzeichen verschwindet.
- −8/125, denn 2³ = 8, 5³ = 125, und das Vorzeichen bleibt.
- 1, denn die Basis ist nicht null.
Was tun, wenn der Exponent nicht ganzzahlig ist?
Dieser Rechner nimmt nur ganzzahlige Exponenten von −100 bis 100 an und lehnt 0^0 sowie null mit negativem Exponenten ab. Für einen Exponenten wie 1/2, der einer Wurzel entspricht, nimm den Rechner für Wurzeln aus Brüchen. Steht die Potenz in einem Term mit Summen und Klammern, beachtet der Termrechner für Brüche die Reihenfolge der Rechenschritte. Die Theorie erklärt der Ratgeber zu negativen und gebrochenen Exponenten, und der Kehrwert eines Bruchs behandelt den Kehrwert für sich. Es ist derselbe Kehrwert, den du beim Dividieren von Brüchen benutzt.
Der Artikel Potenz (Mathematik) der deutschsprachigen Wikipedia hält fest, dass a^−n = 1/a^n gilt und dass eine Zahl ungleich 0 hoch 0 gleich 1 ist; zu 0^0 vermerkt er, dass manche Autoren den Ausdruck undefiniert lassen (abgerufen am 17. Oktober 2026).
Häufige Fragen
Warum löst der Rechner 0^0 nicht?
Weil der Ausdruck keinen eindeutigen Wert hat: Eine Zahl ungleich null hoch 0 ergibt 1, aber 0 hoch einen positiven Exponenten ergibt 0, und beide Regeln widersprechen sich. Der Rechner meldet 0^0 deshalb als nicht definiert, statt es durch 1 zu ersetzen. Auch 0 mit negativem Exponenten, etwa 0^−2, nimmt er nicht an, denn das würde eine Division durch null verlangen. Mit positivem Exponenten gilt 0^4 = 0.
Wie multipliziere ich Potenzen mit demselben Bruch als Basis?
Behalte die Basis und addiere die Exponenten: (1/3)^2 × (1/3)^3 = (1/3)^5 = 1/243. Bei Exponenten mit verschiedenen Vorzeichen geht es genauso: (4/5)^6 × (4/5)^−2 = (4/5)^4 = 256/625. Zur Probe berechnest du jede Potenz einzeln und multiplizierst die Ergebnisse.
Was passiert bei einem sehr großen Exponenten?
Der Rechner rundet nicht: (3/2)^100 ist 3^100/2^100, mit einem Zähler aus 48 Ziffern und einem Nenner aus 31 Ziffern, die vollständig erscheinen. Brauchst du einen Näherungswert, wandle das Ergebnis mit dem Rechner Bruch in Dezimalzahl um.