Eine Zahl wie −5/7 kann das Minus vor dem Bruch, im Zähler oder im Nenner haben und hat immer denselben Wert. Die Vorzeichenregel entscheidet nur bei Produkten und Quotienten. Bei Addition und Subtraktion zählt die Lage der Zahlen auf der Zahlengeraden, deshalb funktioniert Addieren und Subtrahieren mit negativen Zahlen nicht wie Multiplizieren.
| Situation | Was du mit dem Vorzeichen tust | Beispiel |
|---|---|---|
| Verschieben | An allen drei Stellen steht dieselbe Zahl | 6/(−11) = −6/11 |
| Addieren oder subtrahieren | Beträge vergleichen und einen gemeinsamen Nenner nutzen | −4/9 + 1/3 = −1/9 |
| Multiplizieren oder dividieren | Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, verschiedene Minus | (−3/5) : (3/10) = −2 |
| Negative gemischte Zahl | Das Minus gilt für die ganze gemischte Zahl | −1 1/5 = −6/5 |
Je nach Zeile wird das Vorzeichen gesetzt, verglichen oder gezählt, und nur in der Zeile zum Multiplizieren und Dividieren gilt die Regel „Minus mal Minus ergibt Plus“.
Subtrahieren und multiplizieren mit denselben Zahlen
Mit denselben Zahlen und denselben Vorzeichen liefern eine Subtraktion und ein Produkt verschiedene Ergebnisse, weil sich die Rechenart ändert. Dieser Gegensatz erklärt fast alle Fehler bei diesem Thema.
Beispiel mit Lösung: −4/7 − 3/7 im Vergleich zu (−4/7) × (−3/7)
Berechne −4/7 − 3/7 und (−4/7) × (−3/7).
- Differenz. Die Nenner sind schon gleich, also verrechnest du die Zähler mit ihrem Vorzeichen: −4 − 3 = −7.
- Differenz kürzen. −7/7 = −1.
- Produkt. Beide Faktoren sind negativ, das Ergebnis ist also positiv. Du rechnest 4 × 3 = 12 im Zähler und 7 × 7 = 49 im Nenner.
Die Differenz ist −1 und das Produkt ist 12/49.
Zur Probe: −1 + 3/7 = −4/7, der Ausgangswert der Subtraktion. Und 12/49 : (−3/7) = 12/49 × (−7/3) = −84/147 = −4/7, der erste Faktor des Produkts.
Bei der Subtraktion startest du bei einer negativen Zahl und gehst noch drei Siebtel nach links, bis −1. Beim Produkt gibt es keine Verschiebung: Zwei Größen werden multipliziert, und gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Produkt. Machte man aus den zwei Minuszeichen der Subtraktion ein Plus, als wäre es ein Produkt, käme −1/7 heraus, und das ist falsch.
Wo steht das Vorzeichen?
Wenn du das Minus vom Nenner in den Zähler verschiebst, ändert sich der Wert nicht. So ist 6/(−11) = −6/11 = −(6/11). Zur Probe multiplizierst du Zähler und Nenner mit −1. Sind beide Terme negativ, hebt sich das Vorzeichen auf: (−5)/(−7) = 5/7.
Üblich ist ein positiver Nenner mit dem Minus davor, weil sich der Bruch so besser vergleichen und kürzen lässt. Null hat kein Vorzeichen: 0/(−7) ist 0. Der Nenner darf mit oder ohne Vorzeichen nie null sein.
Die Zahlengerade bestätigt das: −5/7 und 5/7 haben gleichen Abstand von null, auf je einer Seite. Deshalb sind sie Gegenzahlen und ergeben zusammen 0.
Addieren und subtrahieren mit negativen Zahlen
Hier zählst du keine Vorzeichen, sondern denkst in Lagen. Eine negative Zahl zu addieren verschiebt nach links, eine positive nach rechts. Bei −4/9 + 1/3 wechselst du zu Neunteln, −4/9 + 3/9, und das Ergebnis ist −1/9. Es ist negativ, weil 4/9 mehr wiegt als 1/3; das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag setzt sich durch.
Subtrahieren heißt, die Gegenzahl zu addieren. Deshalb ist 1/8 − (−3/4) = 1/8 + 6/8 = 7/8, mehr als 1/8. Die Klammer zeigt, dass das zweite Minus zur Zahl gehört, die abgezogen wird. Die Rechner zum Brüche addieren und Brüche subtrahieren nehmen negative Zahlen an und zeigen den gemeinsamen Nenner.
Multiplizieren und dividieren mit negativen Zahlen
Bei Produkten und Quotienten von Werten ungleich null ergeben gleiche Vorzeichen Plus und verschiedene Minus. Du bestimmst zuerst das Vorzeichen und rechnest dann mit den Beträgen. Bei (−7/9) × (3/14) ist das Vorzeichen negativ, und die Rechnung ergibt 21/126. Gekürzt ist das Ergebnis −1/6.
Beim Dividieren kehrst du nur den Divisor um und behältst sein Vorzeichen. Bei (−3/5) : (3/10) rechnest du (−3/5) × (10/3) = −30/15 = −2. Kehrst du statt des Divisors die erste Zahl um, ist das Ergebnis falsch. Ist der Divisor 0, gibt es keinen Kehrwert, und die Division ist nicht definiert. Für längere Rechnungen wenden der Rechner zum Brüche multiplizieren und der zum Brüche dividieren dieselbe Regel an.
Negative gemischte Zahlen
Bei −1 1/5 gilt das Minus für die ganze gemischte Zahl: Es bedeutet −(1 + 1/5), also −6/5. Es heißt nicht −1 + 1/5, das ist −4/5. Bei −2 1/4 ist es genauso: −(8/4 + 1/4) = −9/4, während −2 + 1/4 = −7/4 ist.
Wandle zuerst den positiven Teil um und setze das Vorzeichen am Ende davor. Bist du unsicher, wie eine gemischte Zahl zu lesen ist, schreibe sie als unechten Bruch. Das Werkzeug gemischte Zahl in Bruch hat getrennte Felder für die ganze Zahl und den Bruch, sodass das Vorzeichen nicht von einem Leerzeichen abhängt.
Übungen mit Vorzeichen
Entscheide zuerst, welches Vorzeichen du erwartest, rechne und prüfe mit der Umkehroperation oder auf der Zahlengeraden. Liegt jedes Ergebnis auf der Seite von null, die du erwartet hast?
Üben
- −7/10 + 3/10
- 2/9 − (−4/9)
- (−3/4) × (8/9)
- (−5/8) : (−5/6)
Lösungen anzeigen
- −4/10 = −2/5. Die Summanden liegen auf verschiedenen Seiten, und der mit dem größeren Betrag setzt sich durch.
- 2/9 + 4/9 = 6/9 = 2/3, denn eine negative Zahl abzuziehen heißt, ihre Gegenzahl zu addieren.
- −24/36 = −2/3. Ein negativer Faktor ergibt ein negatives Produkt.
- (−5/8) × (−6/5) = 30/40 = 3/4. Beide Vorzeichen sind gleich, das Ergebnis ist positiv.
Wie du ohne Rechnen abschätzt, ob ein Ergebnis größer oder kleiner als 0, 1/2 oder 1 sein muss, zeigt der Ratgeber zu Referenzbrüchen.
Quellen
Die deutschsprachige Wikipedia, Artikel Positive und negative Zahlen, Abschnitt „Minus mal Minus gleich Plus“: Multipliziert man zwei negative oder zwei positive Zahlen, erhält man stets eine positive Zahl; das Produkt aus einer positiven und einer negativen Zahl ist stets negativ (abgerufen am 17. Oktober 2026).