Si a et b sont différents, la moyenne (a + b) ÷ 2 se trouve toujours entre les deux et c’est encore une fraction. Pour 2/3 et 3/4, cette moyenne vaut 17/24. Pour la calculer et la vérifier avec vos propres valeurs, ouvrez fraction entre deux fractions. Vous trouverez ici la méthode, le cas où il n’y a pas de réponse et la raison pour laquelle les fractions intermédiaires ne s’épuisent jamais.
| Besoin | Méthode | Exemple |
|---|---|---|
| Une fraction quelconque entre les deux | Dénominateur commun et numérateur intermédiaire | Entre 3/7 et 4/7 : 7/14 |
| Celle qui est à égale distance | Milieu, (a + b) ÷ 2 | Entre 5/6 et 7/8 : 41/48 |
| Plusieurs fractions | Écrire les bornes avec un dénominateur plus grand et prendre les numérateurs situés entre les deux | Entre 2/9 et 1/3 avec le dénominateur 36 : 10/36 |
| Bornes de signes différents | Le même milieu, avec le signe dans la somme | Entre −5/6 et 1/6 : −1/3 |
Le milieu donne une seule réponse, alors que le dénominateur commun permet de choisir parmi plusieurs.
Exemple résolu : une fraction entre 2/3 et 3/4
Les dénominateurs sont différents et aucune des deux fractions n'est un entier. Vous cherchez une fraction strictement comprise entre les deux.
- Vérifiez qu’elles sont différentes. 2 × 4 = 8 et 3 × 3 = 9, donc 2/3 et 3/4 n’ont pas la même valeur.
- Passez à un dénominateur commun. Le PPCM de 3 et 4 est 12, ce qui donne 8/12 et 9/12.
- Additionnez. 8/12 + 9/12 = 17/12.
- Divisez par 2. (17/12) ÷ 2 = 17/24.
Résultat : 17/24, le milieu.
Vérification : en vingt-quatrièmes, les bornes sont 16/24 et 18/24, et 16/24 < 17/24 < 18/24.
Le résultat est rationnel, car additionner des fractions et diviser par 2 conserve la forme d’un quotient d’entiers. Il reste de plus dans l’intervalle : la distance de a au milieu est (b − a) ÷ 2, positive si a est inférieur à b, et la distance du milieu à b est la même. Si vous donnez les bornes dans l’autre ordre, la somme ne change pas et le résultat est identique.
Quand les numérateurs se suivent
Avec un dénominateur commun, il n’y a pas toujours de place entre les numérateurs. Entre 3/7 et 4/7, les numérateurs 3 et 4 sont consécutifs, et aucun entier ne tient entre les deux. La solution consiste à utiliser des fractions équivalentes : multipliez le numérateur et le dénominateur des deux fractions par 2, ce qui donne 6/14 et 8/14, avec 7/14 entre les deux. Si vous en voulez plusieurs, multipliez par un facteur plus grand et vous aurez plus de numérateurs libres.
Cette méthode renvoie une fraction intérieure, mais ne vous dit pas laquelle est la fraction centrale. Pour la centrale, utilisez le milieu.
Avec des bornes négatives ou de signes différents
La méthode ne change pas avec des négatifs. Entre −1/2 et 1/4, les huitièmes donnent −4/8 et 2/8 ; la somme est −2/8 et sa moitié, −1/8. La vérification est −4/8 < −1/8 < 2/8. Le milieu se trouve à gauche de zéro même si la borne supérieure est positive, car −1/2 est plus éloigné de zéro que 1/4.
Si les deux bornes sont négatives, rangez-les avec soin : entre −3/8 et −1/8, la plus petite est −3/8, parce qu’elle est plus loin de zéro. Si elles sont opposées, comme −2/5 et 2/5, la somme est 0 et le milieu est 0.
Pourquoi il y a une infinité de fractions entre deux valeurs
Après avoir trouvé un milieu m entre a et b, calculez le milieu entre a et m. Il est différent de a et de m, et il reste dans l’intervalle de départ. Vous pouvez recommencer autant de fois que vous voulez, donc vous n’arrivez jamais à une dernière fraction intermédiaire.
Entre 0 et 1 apparaît 1/2, entre 0 et 1/2 apparaît la moitié de cette moitié, et on peut continuer à diviser par 2 sans fin. C’est pourquoi aucune fraction n’a de « suivante » parmi les rationnels, contrairement aux entiers, où 3 vient après 2. Wikipédia décrit cette propriété en disant que ℚ est dense dans ℝ.
Il existe un cas sans fraction intermédiaire : celui de bornes qui ont la même valeur. Entre 3/5 et 6/10, il n’y a rien, car c’est le même nombre écrit de deux façons et aucune valeur n’est strictement comprise entre un nombre et lui-même. C’est pourquoi la première étape de la méthode est de vérifier que les bornes sont différentes.
Le milieu et la médiante ne sont pas la même chose
La médiante de p/q et r/s est (p + r)/(q + s), et elle tombe aussi dans l’intervalle quand les dénominateurs sont positifs. Entre 1/5 et 1/3, la médiante est (1 + 1)/(5 + 3) = 2/8, soit 1/4 une fois simplifiée, alors que le milieu est (3/15 + 5/15) ÷ 2 = 4/15. Les deux sont à l’intérieur, mais 4/15 est à 1/15 de chaque borne, tandis que la médiante est à 1/20 par la gauche et à 1/12 par la droite.
Choisissez le milieu si vous voulez l’équidistance. La médiante sert à repérer des fractions simples ; la suite de Farey l’utilise pour construire des listes ordonnées.
Entraînez-vous
- Trouvez le milieu entre 1/10 et 3/10.
- Trouvez le milieu entre −7/8 et −5/8.
- Trouvez une fraction entre 5/9 et 6/9 avec un dénominateur commun.
- Combien y a-t-il de fractions entre 2/5 et 4/10 ?
Voir les réponses
- (1/10 + 3/10) ÷ 2 = 1/5, et en dixièmes 1/10 < 2/10 < 3/10.
- (−7/8 − 5/8) ÷ 2 = −3/4, et en huitièmes −7/8 < −6/8 < −5/8.
- En dix-huitièmes, on a 10/18 et 12/18, et 11/18 se trouve entre les deux.
- Aucune, car les bornes ont la même valeur.
Sources et outils
Source : Wikipédia en français, article Nombre rationnel, où ℚ est présenté comme dense dans ℝ (consulté le 17 octobre 2026). Pour voir les positions, utilisez la droite graduée ; pour ranger plus de deux valeurs, ordonner des fractions.