Une suite de Farey d’ordre n, notée Fn, rassemble les fractions irréductibles comprises entre 0 et 1 dont le dénominateur est inférieur ou égal à n, rangées dans l’ordre croissant. F5 compte 11 termes : 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5 et 1/1. Deux termes consécutifs a/b et c/d vérifient bc − ad = 1, et la fraction de plus petit dénominateur qui se trouve entre eux est leur médiante, (a + c)/(b + d).
Pour tester n’importe quel couple de fractions et voir leur valeur intermédiaire, utilisez l’outil fraction entre deux fractions. Ce guide explique pourquoi la règle des voisines fonctionne et quand la médiante est la réponse la plus simple.
Exemple résolu : la médiante de 1/3 et 2/5
Dans F5, ces deux fractions sont des termes qui se suivent. Quelle fraction s'insère entre elles, et dans quelle suite apparaît-elle pour la première fois ?
- Vérifiez qu’elles sont voisines. Avec a/b = 1/3 et c/d = 2/5, bc − ad = 3 × 2 − 1 × 5 = 1.
- Additionnez séparément. Numérateurs : 1 + 2 = 3. Dénominateurs : 3 + 5 = 8.
- Écrivez la médiante. (1 + 2)/(3 + 5) = 3/8.
- Cherchez l’ordre. Le dénominateur est 8, donc elle apparaît pour la première fois dans F8.
Résultat : 3/8 = 0,375, nouvelle dans F8.
Vérification : 0,333… < 0,375 < 0,4, donc la médiante se trouve bien entre les deux. De plus, 3 et 8 n'ont aucun diviseur commun : la fraction est déjà irréductible.
Quelles fractions forment chaque suite
Irréductible signifie que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, c’est-à-dire que leur plus grand commun diviseur (PGCD) vaut 1. C’est pourquoi 2/4 ne figure pas dans F5 : cette fraction vaut 1/2, et chaque valeur n’est écrite qu’une seule fois. L’outil PGCD vérifie cette condition.
Chaque suite contient la précédente et ajoute les fractions irréductibles dont le dénominateur est exactement n. Le tableau donne les numérateurs qui entrent à chaque ordre. Par exemple, F4 ajoute deux fractions de dénominateur 4.
| Ordre | Nouveaux numérateurs | Total |
|---|---|---|
| F1 | 0 et 1 sur 1 | 2 |
| F2 | 1 | 3 |
| F3 | 1 et 2 | 5 |
| F4 | 1 et 3 | 7 |
| F5 | 1, 2, 3 et 4 | 11 |
| F6 | 1 et 5 | 13 |
| F7 | de 1 à 6 | 19 |
| F8 | 1, 3, 5 et 7 | 23 |
Le total augmente de façon irrégulière, car à chaque ordre n’entrent que les numérateurs premiers avec n : six fractions de dénominateur 7, qui est premier, et seulement deux de dénominateur 6. Sur la droite graduée des fractions, on voit que chaque nouvelle fraction tombe dans un intervalle entre deux termes de la liste précédente.
Comment passer de Fn à la suite suivante
Pour construire F(n+1), parcourez Fn et regardez chaque couple de voisines a/b et c/d. Si b + d est égal à n + 1, insérez la médiante entre elles. Si b + d est plus grand, ce couple ne reçoit rien à cette étape, car la médiante appartient à un ordre ultérieur.
Avec F5 et n + 1 = 6, les seuls couples dont les dénominateurs ont pour somme 6 sont 0/1 avec 1/5 et 4/5 avec 1/1. On insère 1/6 et 5/6, et les 11 fractions deviennent 13. Pour atteindre F7, on insère une médiante dans chaque couple dont les dénominateurs ont pour somme 7, soit six au total (1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 et 6/7) ; par exemple, 0/1 et 1/6 donnent 1/7, et 1/4 et 1/3 donnent 2/7.
À partir de F7, le couple de l’exemple résolu a des dénominateurs de somme 8 : sa médiante est donc l’une des quatre fractions que F8 ajoute. Chaque étape est locale, car seuls comptent deux termes contigus et la somme de leurs dénominateurs.
Comment savoir si deux fractions sont voisines
Deux fractions a/b < c/d sont voisines dans une suite de Farey exactement lorsque bc − ad = 1. Calculez les deux produits en croix et soustrayez-les. Si le résultat est 1, il n’y a entre elles aucune fraction de dénominateur inférieur ou égal au plus grand des deux. S’il vaut 2 ou plus, il y en a.
| Couple a/b et c/d | Calcul | Voisines ? |
|---|---|---|
| 2/5 et 1/2 | 5 × 1 − 2 × 2 = 1 | Oui |
| 3/4 et 4/5 | 4 × 4 − 3 × 5 = 1 | Oui |
| 1/6 et 1/4 | 6 × 1 − 1 × 4 = 2 | Non, 1/5 convient |
| 1/5 et 3/4 | 5 × 3 − 1 × 4 = 11 | Non, plusieurs conviennent |
Un résultat supérieur à 1 indique qu’il existe entre les deux fractions d’autres fractions de petit dénominateur. Entre 1/6 et 1/4, la fraction 1/5 se trouve au milieu.
Pourquoi les voisines donnent toujours 1
La propriété se conserve à chaque étape de la construction. Dans F1, 0/1 et 1/1 donnent 1 × 1 − 0 × 1 = 1. Si a/b et c/d sont voisines, les deux couples que forme leur médiante (a + c)/(b + d) le sont aussi : b(a + c) − a(b + d) = bc − ad et (b + d)c − (a + c)d = bc − ad. Comme les deux couples donnent le même résultat que le couple d’origine, la différence reste égale à 1 à chaque ordre.
Pourquoi la médiante est la fraction la plus simple entre voisines
Si a/b et c/d sont voisines (condition de la section précédente), toute fraction p/q strictement comprise entre elles vérifie q ≥ b + d, et la seule avec q = b + d est la médiante. La raison tient aux distances : p/q − a/b est positive et a pour dénominateur bq, donc elle vaut au moins 1/(bq) ; de même, c/d − p/q vaut au moins 1/(dq). En additionnant, c/d − a/b = 1/(bd) doit être au moins égal à (b + d)/(bdq), d’où q ≥ b + d.
L’énoncé demande que les bornes soient voisines. Avec 1/3 et 3/4, qui ne le sont pas, la médiante est 4/7, mais 1/2 se trouve aussi dans l’intervalle et son dénominateur est plus petit.
Fraction la plus simple entre deux décimaux
Si une valeur est comprise entre deux décimaux, cherchez la fraction de plus petit dénominateur qui tombe dans l’intervalle. Pour 0,32 et 0,34, aucune fraction de dénominateur 1 ou 2 n’y entre, et avec le dénominateur 3 apparaît 1/3 = 0,333… (périodique), qui est dans l’intervalle. Les bornes sont 8/25 et 17/50, dont les dénominateurs sont bien plus grands. Pour convertir les bornes en fractions, l’outil décimal en fraction donne la forme exacte.
La méthode générale prend un couple de voisines qui encadre l’intervalle et descend par médiantes jusqu’à ce que l’une tombe dedans. Pour vérifier l’ordre entre deux candidates, le comparateur de fractions le tranche avec exactitude. Si vous cherchez l’idée qu’entre deux fractions il en existe toujours une autre, le guide fraction entre deux fractions traite cette densité.
À vous de jouer
- Trouvez la fraction la plus simple entre 0,71 et 0,72.
- Vérifiez si 3/5 et 2/3 sont voisines et calculez leur médiante.
- Dans quelle suite de Farey 3/7 apparaît-elle pour la première fois ?
Voir les réponses
- 5/7 = 0,714285… ≈ 0,7143 (erreur inférieure à 0,00002). Aucune fraction de dénominateur inférieur à 7 ne tombe dans l’intervalle.
- 5 × 2 − 3 × 3 = 1, donc elles sont voisines. La médiante est (3 + 2)/(5 + 3) = 5/8.
- Dans F7, car son dénominateur est 7 et 3/7 est irréductible.
Cercles de Ford
Chaque fraction a/b peut se dessiner comme un cercle de rayon 1/(2b²) posé sur la droite numérique en a/b. Deux de ces cercles sont tangents exactement lorsque les fractions vérifient la condition de voisinage. Le test de voisinage est donc aussi un test géométrique de contact.
Quand un autre outil est plus direct
La suite de Farey aide à trouver des termes intermédiaires et à voir comment se répartissent les fractions de petit dénominateur. Pour ranger une liste de fractions, le calculateur pour ordonner des fractions applique directement la comparaison. Pour réduire une fraction, divisez le numérateur et le dénominateur par leur PGCD avec le calculateur pour simplifier. Les fractions continues, liées à la médiante, sont une autre voie vers des approximations de petit dénominateur. Les suites ne couvrent que le segment de 0 à 1.
Sources
L’article Suite de Farey de Wikipédia définit la suite comme les fractions irréductibles comprises entre 0 et 1, de dénominateur inférieur ou égal à n, rangées dans l’ordre croissant. Il indique aussi que deux fractions irréductibles a/b et a′/b′ sont consécutives exactement lorsque a′b − ab′ = 1, ce qui équivaut à une différence de 1/(bb′) (consulté le 17 octobre 2026).