Una successione di Farey elenca le frazioni irriducibili tra 0 e 1 con denominatore minore o uguale a n, in ordine crescente. F5 è 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5 e 1/1. Due frazioni vicine soddisfano bc − ad = 1 e la loro mediante si trova strettamente tra esse.
Lo strumento frazione tra due frazioni verifica ogni coppia intermedia con un risultato esatto.
L’essenziale
- Una successione di Farey di ordine n raccoglie le frazioni irriducibili da 0 a 1 il cui denominatore non supera n, in ordine crescente.
- F5 ha esattamente undici termini: 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5 e 1/1.
- Due frazioni consecutive a/b e c/d sono vicine quando bc − ad = 1.
- La mediante di a/b e c/d è (a + c)/(b + d); non è la somma né la media.
- La mediante di 1/3 e 1/2 è 2/5; la loro media è 5/12. Sono valori diversi.
- La frazione con il denominatore più piccolo dentro un intervallo si ottiene, tra vicini di Farey, con la mediante.
Che cos’è una successione di Farey?
La successione di Farey di ordine n, scritta F_n, è l’insieme delle frazioni irriducibili dell’intervallo [0, 1] il cui denominatore è al massimo n, ordinate dalla più piccola alla più grande. “Irriducibile” significa che numeratore e denominatore sono coprimi: il loro massimo comun divisore è 1. Il calcolatore di MCD verifica questa condizione. Per questo 2/4 non compare in F5: è la stessa quantità di 1/2, e 1/2 è già nell’elenco.
I nomi F1, F2, F3… seguono il limite. Più n è grande, più frazioni entrano, perché ogni nuovo denominatore porta le frazioni irriducibili che ancora mancavano.
| Successione | Termini | Quantità |
|---|---|---|
| F1 | 0/1, 1/1 | 2 |
| F2 | 0/1, 1/2, 1/1 | 3 |
| F3 | 0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1 | 5 |
| F4 | 0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1 | 7 |
| F5 | 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1 | 11 |
Ogni riga contiene le precedenti, tranne gli estremi, che sono sempre 0/1 e 1/1. Questo dettaglio è la chiave della costruzione: F5 non si scrive da zero, ma si ottiene da F4 aggiungendo le frazioni che mancavano. La retta numerica delle frazioni serve a posizionare questi termini e a vedere che ogni nuovo valore cade tra due vicini dell’elenco precedente.
F4 = 0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1
Il numero di termini di ogni successione
Il numero di frazioni di F_n cresce con n, ma non segue una formula semplice basata solo su n. Qui conta che l’elenco è finito e crescente, e che ogni termine si ottiene dalla successione precedente. Per n = 5 ci sono 11 termini; per n = 6, 13; e così via. Non serve memorizzare il numero: si contano le frazioni irriducibili con denominatore fino a n, e un comparatore risolve “maggiore di” e “minore di” tra due candidate.
Come si costruisce F(n+1) da F(n)?
F(n+1) si costruisce copiando F(n) e inserendo, tra ogni coppia di vicini a/b e c/d la cui somma dei denominatori soddisfa b + d ≤ n + 1, la mediante (a + c)/(b + d). È una regola locale: guarda solo due termini consecutivi e verifica se rientrano nel limite.
Il passaggio da F4 a F5 lo mostra. In F4, le coppie vicine e la somma dei loro denominatori sono:
- 0/1 e 1/4: 1 + 4 = 5, che non supera 5. Entra 1/5.
- 1/4 e 1/3: 4 + 3 = 7. Non entra nulla.
- 1/3 e 1/2: 3 + 2 = 5. Entra 2/5.
- 1/2 e 2/3: 2 + 3 = 5. Entra 3/5.
- 2/3 e 3/4: 3 + 4 = 7. Non entra nulla.
- 3/4 e 1/1: 4 + 1 = 5. Entra 4/5.
Riunendo F4 con questi quattro inserimenti si ritrova esattamente F5: 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5 e 1/1. Lo stesso meccanismo porta da F1 a F2 con la mediante 1/2, e da F2 a F3 con 1/3 e 2/3.
La proprietà dei vicini: bc − ad = 1
Due termini consecutivi a/b e c/d di una successione di Farey sono vicini e soddisfano bc − ad = 1. La proprietà non è una casualità di F5: è il segno che distingue una coppia davvero consecutiva da una semplicemente vicina. Se il risultato è maggiore di 1, tra le due si inserisce almeno una frazione con denominatore più piccolo.
In F5 la verifica si fa moltiplicando in croce:
| Vicini a/b < c/d | bc − ad | Vale 1? |
|---|---|---|
| 0/1 < 1/5 | 1 × 1 − 0 × 5 = 1 | Sì |
| 1/3 < 2/5 | 2 × 3 − 1 × 5 = 1 | Sì |
| 1/2 < 3/5 | 3 × 2 − 1 × 5 = 1 | Sì |
| 2/3 < 3/4 | 3 × 3 − 2 × 4 = 1 | Sì |
| 4/5 < 1/1 | 1 × 5 − 4 × 1 = 1 | Sì |
Ogni coppia di F5 dà 1. Questo calcolo serve a verificare che due frazioni contigue siano vicine: se due frazioni consecutive del tuo elenco non soddisfano bc − ad = 1, non sono vicine e tra loro sta almeno un’altra frazione.
Perché ogni coppia vicina soddisfa bc − ad = 1?
La proprietà si dimostra per induzione sulla costruzione. In F1 l’unica coppia è 0/1 e 1/1, e vale 1 × 1 − 0 × 1 = 1. Quando si costruisce la successione, ogni frazione nuova è la mediante (a + c)/(b + d) di due vicine a/b e c/d che già soddisfano bc − ad = 1. Le due nuove coppie sono (a/b, (a + c)/(b + d)) e ((a + c)/(b + d), c/d), e in entrambe il prodotto in croce vale lo stesso:
- b(a + c) − a(b + d) = bc − ad = 1.
- (b + d)c − (a + c)d = bc − ad = 1.
Poiché la costruzione parte da F1 e ogni passo conserva la proprietà, ogni coppia vicina la soddisfa. La proprietà serve a riconoscere le vicine: se due frazioni consecutive di un elenco non soddisfano bc − ad = 1, non sono vicine e tra loro sta almeno un’altra frazione.
La mediante di due frazioni
La mediante di a/b e c/d è (a + c)/(b + d). Si sommano i numeratori da un lato e i denominatori dall’altro. È l’operazione che costruisce le successioni di Farey e che dà il termine intermedio più semplice. Non va confusa con la somma di frazioni, che richiede un denominatore comune, né con la media, che divide per 2.
Tra 1/3 e 1/2 la mediante è (1 + 1)/(3 + 2) = 2/5. La verifica dell’ordine usa il denominatore 30: 1/3 = 10/30, 2/5 = 12/30 e 1/2 = 15/30, quindi 10/30 < 12/30 < 15/30 e la mediante si trova strettamente tra le due.
1/3 < 2/5 < 1/2; la media è 5/12, non 2/5.
La mediante non è la media
La mediante di 1/3 e 1/2 è 2/5, ma la loro media è 5/12. Non sono lo stesso numero né lo stesso strumento. La mediante somma i termini delle due frazioni; la media prima somma le frazioni su un denominatore comune e poi divide per 2.
Con i numeri: 1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6, e (5/6) ÷ 2 = 5/12. La media vale 0,4166…, mentre la mediante vale esattamente 0,4. Entrambe cadono tra 1/3 ≈ 0,3333 e 1/2 = 0,5, ma la mediante è più vicina a 1/3. Se cerchi il valore equidistante, lo strumento giusto è il punto medio tra due frazioni; la guida su una frazione tra due frazioni confronta i due metodi più in dettaglio.
Perché la mediante sta strettamente tra le due?
Se a/b < c/d e i denominatori sono positivi, allora a/b < (a + c)/(b + d) < c/d. La dimostrazione usa la moltiplicazione in croce. Per la prima disuguaglianza bisogna vedere che a(b + d) < b(a + c). Sviluppando, ab + ad < ab + bc, che equivale a ad < bc, vero perché a/b < c/d. Per la seconda, (a + c)/(b + d) < c/d equivale a d(a + c) < c(b + d), cioè ad + cd < bc + cd, ossia ad < bc, la stessa condizione. Entrambe le disuguaglianze si basano sullo stesso fatto: la mediante non esce mai dall’intervallo aperto.
Trovare la frazione più semplice di un intervallo
La frazione più semplice di un intervallo è quella con il denominatore più piccolo; in caso di parità, si sceglie quella con il numeratore più piccolo. Il suo uso è pratico: è la frazione più facile da ricordare, scrivere e usare per rappresentare qualsiasi valore dentro l’intervallo. Le successioni di Farey forniscono il metodo perché, tra due vicine, la frazione più semplice è esattamente la loro mediante.
Esempio tipico: tra 1/3 e 1/2
La frazione più semplice strettamente tra 1/3 e 1/2 è 2/5, la mediante. Nessuna frazione con denominatore 2, 3 o 4 cade dentro: 1/4 = 0,25 sta sotto, e 1/2 e 1/3 sono gli estremi. Con il denominatore 5 compare 2/5 = 0,4, che è dentro. È lo stesso calcolo di prima, letto ora come risposta a “qual è la più semplice?”.
Esempio con i decimali: tra 0,32 e 0,34
Supponi che un valore misurato stia tra 0,32 e 0,34 e che tu voglia la frazione più semplice. Gli estremi sono 32/100 = 8/25 e 34/100 = 17/50, con denominatori 25 e 50. Cercando una frazione semplice tra loro, nessuno dei due estremi è comodo, ma 1/3 ≈ 0,3333 cade proprio nel mezzo. Il suo denominatore è 3, molto minore di 25 e 50, quindi 1/3 è la frazione più semplice dell’intervallo. Il confronto tra frazioni conferma che 8/25 < 1/3 < 17/50.
Prova tu: due intervalli
- Trova la frazione più semplice strettamente tra 1/2 e 1. Risposta: 2/3. È la mediante di 1/2 e 1/1, vale ≈ 0,6667, e nessuna frazione più semplice con denominatore 2 o 3 cade dentro.
- Trova la frazione più semplice tra 0,71 e 0,72. Risposta: 5/7 ≈ 0,7143. Con denominatori minori di 7 non c’è frazione nell’intervallo, quindi 5/7 è la scelta.
Un dettaglio importante del metodo: la frazione più semplice dell’intervallo non deve stare per forza vicino al centro. Nell’esempio da 0,32 a 0,34, 1/3 è quasi al centro, ma tra 5/8 e 3/4 la più semplice è 2/3 ≈ 0,6667, che cade a sinistra. A decidere è la dimensione del denominatore, non la distanza dagli estremi.
I cerchi di Ford
Ogni frazione a/b si può disegnare come un cerchio di raggio 1/(2b²) tangente alla retta numerica nel punto a/b. Sono i cerchi di Ford, e il loro interesse qui è che traducono l’aritmetica in geometria: due frazioni sono vicine in qualche successione di Farey, cioè soddisfano bc − ad = 1, esattamente quando i loro cerchi di Ford sono tangenti tra loro. Se il prodotto in croce non vale 1, i cerchi sono disgiunti: restano separati senza sovrapporsi. La successione di Farey diventa così l’elenco dei cerchi che si toccano lungo un tratto della retta.
Per che cosa non serve una successione di Farey?
Una successione di Farey non serve per operare su frazioni qualsiasi: ordina solo le frazioni irriducibili di [0, 1] con denominatore limitato, e non include valori maggiori di 1, negativi o denominatori oltre n. Non sostituisce nemmeno l’addizione, la sottrazione o la moltiplicazione: il suo ruolo è trovare termini intermedi e misurare la densità, non calcolare operazioni. Se l’intervallo che ti interessa cade fuori da [0, 1], spostalo prima oppure usa direttamente lo strumento frazione tra due frazioni.
Non è neppure la via più rapida per ordinare un elenco concreto di frazioni. Per questo, il calcolatore per ordinare frazioni applica direttamente il criterio di confronto. E per ridurre una frazione alla forma irriducibile, la via breve passa dal massimo comun divisore, non dalla generazione dell’intera successione di Farey. La frazione irriducibile si ottiene dividendo entrambi i termini per il loro MCD.
In sintesi, la successione di Farey ordina le frazioni irriducibili in ordine crescente e rivela la regola bc − ad = 1 che le sue vicine soddisfano. La mediante, (a + c)/(b + d), è l’operazione che le costruisce e che dà la frazione più semplice di un intervallo. Con F5 = 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1, il motivo è chiaro: ogni ordine aggiunge le medianti che rientrano nel suo limite.