Una sucesión de Farey de orden n, escrita Fn, reúne las fracciones irreducibles entre 0 y 1 con denominador menor o igual que n, de menor a mayor. F5 tiene 11 términos: 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5 y 1/1. Dos términos consecutivos a/b y c/d cumplen bc − ad = 1, y la fracción de menor denominador que cabe entre ellos es su medianta, (a + c)/(b + d).
Para comprobar cualquier par de fracciones y ver su valor intermedio, usa la fracción entre dos fracciones. Esta guía explica por qué funciona la regla de los vecinos y cuándo la medianta es la respuesta más simple.
Ejemplo resuelto: la medianta de 1/3 y 2/5
En F5 esas dos fracciones son términos seguidos. ¿Qué fracción se inserta entre ellas y en qué sucesión aparece por primera vez?
- Comprueba que son vecinas. Con a/b = 1/3 y c/d = 2/5, bc − ad = 3 × 2 − 1 × 5 = 1.
- Suma por separado. Numeradores: 1 + 2 = 3. Denominadores: 3 + 5 = 8.
- Escribe la medianta. (1 + 2)/(3 + 5) = 3/8.
- Busca el orden. El denominador es 8, así que aparece por primera vez en F8.
Resultado: 3/8 = 0,375, nueva en F8.
Comprobación: 0,333… < 0,375 < 0,4, así que la medianta queda dentro. Además, 3 y 8 no tienen divisores comunes y la fracción ya es irreducible.
Qué fracciones forman cada sucesión
Irreducible significa que el numerador y el denominador son coprimos, es decir, que su máximo común divisor (MCD) es 1. Por eso 2/4 no figura en F5: vale lo mismo que 1/2 y cada valor se escribe una sola vez. La herramienta de máximo común divisor comprueba esa condición.
Cada sucesión contiene a la anterior y añade las fracciones irreducibles cuyo denominador es exactamente n. La tabla da los numeradores que entran en cada orden. Por ejemplo, F4 suma dos fracciones con denominador 4.
| Orden | Numeradores nuevos | Total |
|---|---|---|
| F1 | 0 y 1 sobre 1 | 2 |
| F2 | 1 | 3 |
| F3 | 1 y 2 | 5 |
| F4 | 1 y 3 | 7 |
| F5 | 1, 2, 3 y 4 | 11 |
| F6 | 1 y 5 | 13 |
| F7 | de 1 a 6 | 19 |
| F8 | 1, 3, 5 y 7 | 23 |
El total crece de forma irregular porque en cada orden entran solo los numeradores coprimos con n: seis fracciones con denominador 7, que es primo, y solo dos con denominador 6. En la recta numérica de fracciones se ve que cada fracción nueva cae en un hueco entre dos términos de la lista anterior.
Cómo pasar de Fn a la siguiente sucesión
Para construir F(n+1), recorre Fn y mira cada par de vecinas a/b y c/d. Si b + d es igual a n + 1, inserta la medianta entre ellas. Si b + d es mayor, ese par no recibe nada en este paso, porque la medianta pertenece a un orden posterior.
Con F5 y n + 1 = 6, los únicos pares con denominadores que suman 6 son 0/1 con 1/5 y 4/5 con 1/1. Se insertan 1/6 y 5/6, y las 11 fracciones pasan a 13. Para llegar a F7 se inserta una medianta en cada par con denominadores que suman 7, seis en total (1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 y 6/7); por ejemplo, de 0/1 y 1/6 sale 1/7 y de 1/4 y 1/3 sale 2/7.
Desde F7, el par del ejemplo resuelto tiene denominadores que suman 8, así que su medianta es una de las cuatro fracciones que añade F8. Cada paso es local, porque solo importan dos términos contiguos y la suma de sus denominadores.
Cómo saber si dos fracciones son vecinas
Dos fracciones a/b < c/d son vecinas en alguna sucesión de Farey exactamente cuando bc − ad = 1. Calcula los dos productos cruzados y réstalos. Si da 1, entre ellas no hay ninguna fracción con denominador menor o igual que el mayor de los dos. Si da 2 o más, sí la hay.
| Pareja a/b y c/d | Cálculo | ¿Vecinas? |
|---|---|---|
| 2/5 y 1/2 | 5 × 1 − 2 × 2 = 1 | Sí |
| 3/4 y 4/5 | 4 × 4 − 3 × 5 = 1 | Sí |
| 1/6 y 1/4 | 6 × 1 − 1 × 4 = 2 | No, cabe 1/5 |
| 1/5 y 3/4 | 5 × 3 − 1 × 4 = 11 | No, caben varias |
Un resultado mayor que 1 indica que entre las dos fracciones hay otras con denominador pequeño. Entre 1/6 y 1/4, la fracción 1/5 está en medio.
Por qué los vecinos siempre dan 1
La propiedad se conserva en cada paso de la construcción. En F1, 0/1 y 1/1 dan 1 × 1 − 0 × 1 = 1. Si a/b y c/d son vecinas, los dos pares que forma su medianta (a + c)/(b + d) también: b(a + c) − a(b + d) = bc − ad y (b + d)c − (a + c)d = bc − ad. Como ambos pares dan el mismo resultado que el par original, la diferencia sigue siendo 1 en cada orden.
Por qué la medianta es la fracción más simple entre vecinas
Si a/b y c/d son vecinas (condición de la sección anterior), toda fracción p/q estrictamente entre ellas tiene q ≥ b + d, y la única con q = b + d es la medianta. La razón está en las distancias: p/q − a/b es positiva y tiene denominador bq, así que vale al menos 1/(bq); de igual modo c/d − p/q vale al menos 1/(dq). Al sumar, c/d − a/b = 1/(bd) debe ser al menos (b + d)/(bdq), y de ahí sale q ≥ b + d.
El enunciado pide que los extremos sean vecinos. Con 1/3 y 3/4, que no lo son, la medianta es 4/7, pero 1/2 también queda dentro y tiene un denominador menor.
Fracción más simple entre dos decimales
Si un valor está entre dos decimales, busca la fracción de menor denominador que quede dentro. Para 0,32 y 0,34, ninguna fracción con denominador 1 o 2 cabe, y con denominador 3 aparece 1/3 = 0,333… (periódico), que está dentro. Los extremos son 8/25 y 17/50, con denominadores mucho mayores. Para convertir los extremos a fracción, la conversión de decimal a fracción da la forma exacta.
El método general toma un par de vecinas que encierre el intervalo y sube por medianta hasta que una cae dentro. Para comprobar un orden entre dos candidatas, el comparador de fracciones lo resuelve con exactitud. Si lo que buscas es la idea de que entre dos fracciones siempre hay otra, la guía de fracción entre dos fracciones trata esa densidad.
Practica
- Halla la fracción más simple entre 0,71 y 0,72.
- Comprueba si 3/5 y 2/3 son vecinas y calcula su medianta.
- ¿En qué sucesión de Farey aparece por primera vez 3/7?
Ver las respuestas
- 5/7 = 0,714285… ≈ 0,7143 (error menor que 0,00002). Ninguna fracción con denominador menor que 7 cae dentro del intervalo.
- 5 × 2 − 3 × 3 = 1, así que son vecinas. La medianta es (3 + 2)/(5 + 3) = 5/8.
- En F7, porque su denominador es 7 y 3/7 es irreducible.
Círculos de Ford
Cada fracción a/b se puede dibujar como un círculo de radio 1/(2b²) apoyado en la recta numérica en a/b. Dos de estos círculos son tangentes exactamente cuando las fracciones cumplen la condición de vecindad. Así, la prueba de vecindad es también una prueba geométrica de contacto.
Cuándo otra herramienta es más directa
La sucesión de Farey ayuda a encontrar términos intermedios y a ver cómo se reparten las fracciones de denominador pequeño. Para ordenar una lista de fracciones, la calculadora para ordenar fracciones aplica la comparación directamente. Para reducir una fracción, divide numerador y denominador entre su MCD con la calculadora para simplificar. Otra vía hacia aproximaciones con denominador pequeño son las fracciones continuas, que se relacionan con la medianta. Las sucesiones cubren solo el tramo de 0 a 1.
Fuentes
La Wikipedia en español, en su artículo Sucesión de Farey, define la sucesión como las fracciones irreducibles entre 0 y 1 con denominador menor o igual que n, en orden creciente. Allí figura también que la diferencia entre vecinas a/b y c/d es 1/(bd), equivalente a la condición de vecindad (consultado el 16 de octubre de 2026).