Barisan Farey mencantumkan pecahan tak tereduksi antara 0 dan 1 dengan penyebut paling besar n, dalam urutan naik. F5 adalah 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, dan 1/1. Dua pecahan bertetangga memenuhi bc − ad = 1 dan mediantnya terletak tepat di antara keduanya.
Alat pecahan di antara dua pecahan memeriksa setiap pasangan perantara dengan hasil yang tepat.
Inti
- Barisan Farey tingkat n menghimpun pecahan tak tereduksi dari 0 sampai 1 yang penyebutnya tidak lebih dari n, dalam urutan naik.
- F5 memuat tepat sebelas suku: 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, dan 1/1.
- Dua pecahan berurutan a/b dan c/d adalah tetangga bila bc − ad = 1.
- Mediant dari a/b dan c/d adalah (a + c)/(b + d); ini bukan jumlah dan bukan rata-rata.
- Mediant dari 1/3 dan 1/2 adalah 2/5; rata-ratanya adalah 5/12. Keduanya nilai yang berbeda.
- Pecahan berpenyebut paling kecil di dalam suatu interval diperoleh, di antara tetangga Farey, dengan mediant.
Apa itu barisan Farey?
Barisan Farey tingkat n, ditulis F_n, adalah himpunan pecahan tak tereduksi pada interval [0, 1] yang penyebutnya paling besar n, diurutkan dari terkecil ke terbesar. “Tak tereduksi” berarti pembilang dan penyebutnya saling prima: faktor persekutuan terbesar keduanya adalah 1. Pecahan seperti 2/4, 3/6, atau 4/8 tidak dicantumkan karena nilainya sama dengan pecahan yang lebih sederhana yang sudah ada. Kalkulator FPB memeriksa syarat itu. Itulah sebabnya 2/4 tidak muncul di F5: nilainya sama dengan 1/2, dan 1/2 sudah ada dalam daftar.
Nama F1, F2, F3… mengikuti batasnya. Makin besar n, makin banyak pecahan masuk, karena setiap penyebut baru menyumbang pecahan tak tereduksi yang belum ada.
| Barisan | Suku | Banyak |
|---|---|---|
| F1 | 0/1, 1/1 | 2 |
| F2 | 0/1, 1/2, 1/1 | 3 |
| F3 | 0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1 | 5 |
| F4 | 0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1 | 7 |
| F5 | 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1 | 11 |
Setiap baris memuat baris sebelumnya kecuali ujung-ujungnya, yang selalu 0/1 dan 1/1. Rincian itulah kunci konstruksinya: F5 tidak ditulis dari nol, melainkan diperoleh dari F4 dengan menambahkan pecahan yang belum ada. Sebagai gambaran, F6 menambahkan 1/6 dan 5/6 pada F5 sehingga jumlahnya menjadi 13 suku. Garis bilangan pecahan membantu meletakkan suku-suku itu dan melihat bahwa setiap nilai baru jatuh di antara dua tetangga daftar sebelumnya.
F4 = 0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1
Banyaknya suku setiap barisan
Banyak pecahan pada F_n bertambah seiring n, tetapi tidak mengikuti rumus sederhana yang hanya bergantung pada n. Yang penting di sini adalah daftarnya berhingga dan menaik, dan setiap suku dapat diperoleh dari barisan sebelumnya. Untuk n = 5 ada 11 suku; untuk n = 6 ada 13; dan seterusnya. Angkanya tidak perlu dihafal: cukup hitung pecahan tak tereduksi berpenyebut sampai n, dan pembanding menyelesaikan “lebih besar dari” serta “lebih kecil dari” antara dua calon.
Bagaimana F(n+1) dibangun dari F(n)?
F(n+1) dibangun dengan menyalin F(n) lalu menyisipkan, di antara setiap pasangan tetangga a/b dan c/d yang jumlah penyebutnya memenuhi b + d ≤ n + 1, mediant (a + c)/(b + d). Ini aturan lokal: hanya melihat dua suku berurutan dan memeriksa apakah keduanya masuk batas.
Langkah dari F4 ke F5 menunjukkannya. Pada F4, pasangan tetangga dan jumlah penyebutnya adalah:
- 0/1 dan 1/4: 1 + 4 = 5, tidak melebihi 5. Masuk 1/5.
- 1/4 dan 1/3: 4 + 3 = 7. Tidak ada yang masuk.
- 1/3 dan 1/2: 3 + 2 = 5. Masuk 2/5.
- 1/2 dan 2/3: 2 + 3 = 5. Masuk 3/5.
- 2/3 dan 3/4: 3 + 4 = 7. Tidak ada yang masuk.
- 3/4 dan 1/1: 4 + 1 = 5. Masuk 4/5.
Menggabungkan F4 dengan empat sisipan itu menghasilkan tepat F5: 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, dan 1/1. Mekanisme yang sama membawa F1 ke F2 dengan mediant 1/2, dan F2 ke F3 dengan 1/3 serta 2/3.
Sifat tetangga: bc − ad = 1
Dua suku berurutan a/b dan c/d pada barisan Farey adalah tetangga dan memenuhi bc − ad = 1. Sifat ini bukan kebetulan F5: inilah tanda yang membedakan pasangan yang benar-benar berurutan dari pasangan yang sekadar berdekatan. Bila hasilnya lebih besar dari 1, paling sedikit satu pecahan berpenyebut lebih kecil menyelip di antaranya.
Pada F5, pemeriksaannya dilakukan dengan perkalian silang:
| Tetangga a/b < c/d | bc − ad | Bernilai 1? |
|---|---|---|
| 0/1 < 1/5 | 1 × 1 − 0 × 5 = 1 | Ya |
| 1/3 < 2/5 | 2 × 3 − 1 × 5 = 1 | Ya |
| 1/2 < 3/5 | 3 × 2 − 1 × 5 = 1 | Ya |
| 2/3 < 3/4 | 3 × 3 − 2 × 4 = 1 | Ya |
| 4/5 < 1/1 | 1 × 5 − 4 × 1 = 1 | Ya |
Setiap pasangan pada F5 memberi 1. Perhitungan itu berguna untuk memeriksa apakah dua pecahan yang berdampingan adalah tetangga: bila dua pecahan berurutan pada daftarmu tidak memenuhi bc − ad = 1, keduanya bukan tetangga dan paling sedikit satu pecahan lain muat di antaranya.
Mengapa setiap pasangan tetangga memenuhi bc − ad = 1?
Sifat itu dibuktikan dengan induksi atas konstruksinya. Pada F1 satu-satunya pasangan adalah 0/1 dan 1/1, dan berlaku 1 × 1 − 0 × 1 = 1. Saat barisan dibangun, setiap pecahan baru adalah mediant (a + c)/(b + d) dari dua tetangga a/b dan c/d yang sudah memenuhi bc − ad = 1. Dua pasangan barunya adalah (a/b, (a + c)/(b + d)) dan ((a + c)/(b + d), c/d), dan pada keduanya hasil kali silangnya sama:
- b(a + c) − a(b + d) = bc − ad = 1.
- (b + d)c − (a + c)d = bc − ad = 1.
Karena konstruksinya mulai dari F1 dan setiap langkah mempertahankan sifat itu, semua pasangan tetangga memenuhinya. Sifat ini berguna untuk mengenali tetangga: bila dua pecahan berurutan pada suatu daftar tidak memenuhi bc − ad = 1, keduanya bukan tetangga dan paling sedikit satu pecahan lain muat di antaranya.
Mediant dua pecahan
Mediant dari a/b dan c/d adalah (a + c)/(b + d). Pembilang dijumlahkan di satu sisi dan penyebut di sisi lain. Inilah operasi yang membangun barisan Farey dan memberi suku perantara paling sederhana. Jangan tertukar dengan penjumlahan pecahan, yang memerlukan penyebut sama, atau dengan rata-rata, yang membagi dengan 2.
Antara 1/3 dan 1/2, mediantnya adalah (1 + 1)/(3 + 2) = 2/5. Pemeriksaan urutannya memakai penyebut 30: 1/3 = 10/30, 2/5 = 12/30, dan 1/2 = 15/30, jadi 10/30 < 12/30 < 15/30 dan mediantnya terletak tepat di antara keduanya.
1/3 < 2/5 < 1/2; rata-ratanya 5/12, bukan 2/5.
Mediant bukan rata-rata
Mediant dari 1/3 dan 1/2 adalah 2/5, tetapi rata-ratanya adalah 5/12. Keduanya bukan angka yang sama maupun alat yang sama. Mediant menjumlahkan suku-suku kedua pecahan; rata-rata mula-mula menjumlahkan pecahan dengan penyebut sama lalu membagi dengan 2.
Dengan angka: 1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6, dan (5/6) ÷ 2 = 5/12. Rata-ratanya 0,4166…, sedangkan mediantnya tepat 0,4. Keduanya jatuh di antara 1/3 ≈ 0,3333 dan 1/2 = 0,5, tetapi mediant lebih dekat ke 1/3. Bila yang dicari nilai yang berjarak sama, alat yang tepat adalah titik tengah antara dua pecahan; panduan tentang pecahan di antara dua pecahan membandingkan titik tengah dengan mediant lebih rinci.
Mengapa mediant terletak tepat di antara keduanya?
Jika a/b < c/d dan penyebutnya positif, maka a/b < (a + c)/(b + d) < c/d. Pembuktiannya memakai perkalian silang. Untuk ketaksamaan pertama, perlu ditunjukkan a(b + d) < b(a + c). Setelah dijabarkan, ab + ad < ab + bc, yang setara dengan ad < bc, benar karena a/b < c/d. Untuk yang kedua, (a + c)/(b + d) < c/d setara dengan d(a + c) < c(b + d), yaitu ad + cd < bc + cd, atau ad < bc, syarat yang sama. Kedua ketaksamaan bersandar pada fakta yang sama: mediant tidak pernah keluar dari interval terbuka.
Mencari pecahan paling sederhana pada suatu interval
Pecahan paling sederhana pada suatu interval adalah yang berpenyebut paling kecil; bila seri, pilih yang pembilangnya paling kecil. Kegunaannya praktis: itulah pecahan yang paling mudah diingat, ditulis, dan dipakai untuk mewakili nilai mana pun di dalam interval. Barisan Farey memberi metodenya karena, di antara dua tetangga, pecahan paling sederhana tepat mediantnya.
Contoh lazim: antara 1/3 dan 1/2
Pecahan paling sederhana yang ketat di antara 1/3 dan 1/2 adalah 2/5, yaitu mediantnya. Tidak ada pecahan berpenyebut 2, 3, atau 4 yang jatuh di dalamnya: 1/4 = 0,25 ada di bawah, dan 1/2 serta 1/3 adalah ujungnya. Dengan penyebut 5 muncul 2/5 = 0,4, yang memang di dalam. Ini perhitungan yang sama seperti sebelumnya, kini dibaca sebagai jawaban atas “mana yang paling sederhana?”.
Contoh dengan desimal: antara 0,32 dan 0,34
Misalkan suatu nilai terukur berada antara 0,32 dan 0,34 dan kamu ingin pecahan paling sederhana. Ujungnya adalah 32/100 = 8/25 dan 34/100 = 17/50, dengan penyebut 25 dan 50. Mencari pecahan sederhana di antaranya, tak ada ujung yang praktis, tetapi 1/3 ≈ 0,3333 jatuh tepat di tengah. Penyebutnya 3, jauh lebih kecil daripada 25 dan 50, jadi 1/3 adalah pecahan paling sederhana pada interval itu. Pembanding pecahan menegaskan bahwa 8/25 < 1/3 < 17/50.
Coba sendiri: dua interval
- Carilah pecahan paling sederhana yang ketat di antara 1/2 dan 1. Jawaban: 2/3. Itu mediant dari 1/2 dan 1/1, nilainya ≈ 0,6667, dan tak ada pecahan lebih sederhana berpenyebut 2 atau 3 yang jatuh di dalamnya.
- Carilah pecahan paling sederhana antara 0,71 dan 0,72. Jawaban: 5/7 ≈ 0,7143. Dengan penyebut kurang dari 7 tak ada pecahan di dalam interval, jadi 5/7 pilihannya.
- Carilah pecahan paling sederhana antara 5/8 dan 3/4. Jawaban: 2/3 ≈ 0,6667. Meski ujungnya 5/8 = 0,625 dan 3/4 = 0,75, pecahan berpenyebut paling kecil yang jatuh di dalamnya adalah 2/3.
Satu rincian penting dari metode ini: pecahan paling sederhana pada interval tidak harus dekat ke titik tengah. Pada contoh 0,32 sampai 0,34, 1/3 hampir di tengah, tetapi antara 5/8 dan 3/4 yang paling sederhana adalah 2/3 ≈ 0,6667, yang jatuh ke kiri. Yang menentukan adalah besar penyebutnya, bukan jarak ke ujung-ujungnya.
Lingkaran Ford
Setiap pecahan a/b dapat digambar sebagai lingkaran berjari-jari 1/(2b²) yang menyinggung garis bilangan di titik a/b. Inilah lingkaran Ford, dan menariknya di sini karena menerjemahkan aritmetika menjadi geometri: dua pecahan bertetangga pada suatu barisan Farey, yaitu memenuhi bc − ad = 1, tepat ketika lingkaran Ford keduanya saling menyinggung. Bila hasil perkalian silangnya bukan 1, lingkarannya saling lepas: tetap terpisah tanpa bertindih. Barisan Farey pun menjadi daftar lingkaran yang bersentuhan di sepanjang suatu ruas garis. Makin besar penyebut sebuah pecahan, makin kecil lingkaran Ford-nya, sehingga pecahan berpenyebut besar berdesakan dekat sumbu bilangan.
Untuk apa barisan Farey tidak berguna?
Barisan Farey tidak untuk mengoperasikan pecahan sembarang: ia hanya mengurutkan pecahan tak tereduksi pada [0, 1] dengan penyebut terbatas, dan tidak memuat nilai lebih besar dari 1, nilai negatif, atau penyebut di atas n. Ia juga tidak menggantikan penjumlahan, pengurangan, atau perkalian: perannya menemukan suku perantara dan mengukur kerapatan, bukan menghitung operasi. Bila interval yang kamu minati berada di luar [0, 1], geser dulu atau langsung pakai alat pecahan di antara dua pecahan.
Ia juga bukan cara tercepat untuk mengurutkan daftar pecahan tertentu. Untuk itu, kalkulator pengurut pecahan menerapkan kriteria pembanding secara langsung. Dan untuk menyederhanakan pecahan ke bentuk paling sederhana, jalan pintasnya lewat faktor persekutuan terbesar, bukan membangun seluruh barisan Farey. Pecahan tak tereduksi diperoleh dengan membagi kedua sukunya dengan FPB.
Singkatnya, barisan Farey mengurutkan pecahan tak tereduksi dalam urutan menaik dan menyingkap aturan bc − ad = 1 yang dipenuhi tetangganya. Mediant, (a + c)/(b + d), adalah operasi yang membangunnya dan memberi pecahan paling sederhana pada suatu interval. Dengan F5 = 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1, polanya jelas: setiap tingkat menambahkan mediant yang masuk batasnya, dan tidak ada pecahan lain yang terselip di antaranya.