Uma sequência de Farey de ordem n, escrita Fn, reúne as frações irredutíveis entre 0 e 1 com denominador menor ou igual a n, em ordem crescente. F5 tem 11 termos: 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5 e 1/1. Dois termos consecutivos a/b e c/d cumprem bc − ad = 1, e a fração de menor denominador que cabe entre eles é a mediante, (a + c)/(b + d).
Para conferir qualquer par de frações e ver o valor intermediário, use a fração entre duas frações. Este guia explica por que a regra dos vizinhos funciona e quando a mediante é a resposta mais simples.
Exemplo resolvido: a mediante de 1/3 e 2/5
Em F5, essas duas frações são termos seguidos. Que fração se insere entre elas e em qual sequência aparece pela primeira vez?
- Confira que são vizinhas. Com a/b = 1/3 e c/d = 2/5, bc − ad = 3 × 2 − 1 × 5 = 1.
- Some separadamente. Numeradores: 1 + 2 = 3. Denominadores: 3 + 5 = 8.
- Escreva a mediante. (1 + 2)/(3 + 5) = 3/8.
- Ache a ordem. O denominador é 8, então ela aparece pela primeira vez em F8.
Resultado: 3/8 = 0,375, nova em F8.
Conferência: 0,333… < 0,375 < 0,4, então a mediante fica dentro do intervalo. Além disso, 3 e 8 não têm divisores comuns e a fração já é irredutível.
Quais frações formam cada sequência
Irredutível significa que numerador e denominador são primos entre si, isto é, que o máximo divisor comum (MDC) deles é 1. Por isso 2/4 não figura em F5: vale o mesmo que 1/2, e cada valor se escreve uma só vez. A ferramenta de máximo divisor comum confere essa condição.
Cada sequência contém a anterior e acrescenta as frações irredutíveis cujo denominador é exatamente n. A tabela mostra os numeradores que entram em cada ordem. Por exemplo, F4 acrescenta duas frações com denominador 4.
| Ordem | Numeradores novos | Total |
|---|---|---|
| F1 | 0 e 1 sobre 1 | 2 |
| F2 | 1 | 3 |
| F3 | 1 e 2 | 5 |
| F4 | 1 e 3 | 7 |
| F5 | 1, 2, 3 e 4 | 11 |
| F6 | 1 e 5 | 13 |
| F7 | de 1 a 6 | 19 |
| F8 | 1, 3, 5 e 7 | 23 |
O total cresce de forma irregular porque, em cada ordem, entram só os numeradores primos com n: seis frações com denominador 7, que é primo, e apenas duas com denominador 6. Na reta numérica de frações se vê que cada fração nova cai num vão entre dois termos da lista anterior.
Como passar de Fn para a sequência seguinte
Para construir F(n+1), percorra Fn e olhe cada par de vizinhas a/b e c/d. Se b + d for igual a n + 1, insira a mediante entre elas. Se b + d for maior, esse par não recebe nada neste passo, pois a mediante pertence a uma ordem posterior.
Com F5 e n + 1 = 6, os únicos pares com denominadores que somam 6 são 0/1 com 1/5 e 4/5 com 1/1. Inserem-se 1/6 e 5/6, e as 11 frações passam a 13. Para chegar a F7, insere-se uma mediante em cada par com denominadores que somam 7, seis ao todo (1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 e 6/7); por exemplo, de 0/1 e 1/6 sai 1/7, e de 1/4 e 1/3 sai 2/7.
A partir de F7, o par do exemplo resolvido tem denominadores que somam 8, então a mediante dele é uma das quatro frações que F8 acrescenta. Cada passo é local, porque só importam dois termos contíguos e a soma dos denominadores.
Como saber se duas frações são vizinhas
Duas frações a/b < c/d são vizinhas em alguma sequência de Farey exatamente quando bc − ad = 1. Faça a multiplicação cruzada, b × c e a × d, e subtraia. Se der 1, entre elas não há nenhuma fração com denominador menor ou igual ao maior dos dois. Se der 2 ou mais, há.
| Par a/b e c/d | Cálculo | Vizinhas? |
|---|---|---|
| 2/5 e 1/2 | 5 × 1 − 2 × 2 = 1 | Sim |
| 3/4 e 4/5 | 4 × 4 − 3 × 5 = 1 | Sim |
| 1/6 e 1/4 | 6 × 1 − 1 × 4 = 2 | Não, cabe 1/5 |
| 1/5 e 3/4 | 5 × 3 − 1 × 4 = 11 | Não, cabem várias |
Um resultado maior que 1 indica que entre as duas frações há outras com denominador pequeno. Entre 1/6 e 1/4, a fração 1/5 está no meio.
Por que os vizinhos sempre dão 1
A propriedade se conserva em cada passo da construção. Em F1, 0/1 e 1/1 dão 1 × 1 − 0 × 1 = 1. Se a/b e c/d são vizinhas, os dois pares que a mediante (a + c)/(b + d) forma também são: b(a + c) − a(b + d) = bc − ad e (b + d)c − (a + c)d = bc − ad. Como ambos os pares dão o mesmo resultado do par original, a diferença continua sendo 1 em cada ordem.
Por que a mediante é a fração mais simples entre vizinhas
Se a/b e c/d são vizinhas (condição da seção anterior), toda fração p/q estritamente entre elas tem q ≥ b + d, e a única com q = b + d é a mediante. A razão está nas distâncias: p/q − a/b é positiva e tem denominador bq, então vale pelo menos 1/(bq); do mesmo modo, c/d − p/q vale pelo menos 1/(dq). Somando, c/d − a/b = 1/(bd) deve ser pelo menos (b + d)/(bdq), e daí sai q ≥ b + d.
O enunciado exige que os extremos sejam vizinhos. Com 1/3 e 3/4, que não são, a mediante é 4/7, mas 1/2 também fica dentro e tem denominador menor.
Fração mais simples entre dois decimais
Se um valor está entre dois decimais, procure a fração de menor denominador que fique dentro. Para 0,32 e 0,34, nenhuma fração com denominador 1 ou 2 cabe, e com denominador 3 aparece 1/3 = 0,333… (dízima periódica), que está dentro. Os extremos são 8/25 e 17/50, com denominadores muito maiores. Para converter os extremos em fração, a conversão de decimal para fração dá a forma exata.
O método geral toma um par de vizinhas que encerre o intervalo e sobe por mediante até que uma caia dentro. Para conferir a ordem entre duas candidatas, o comparador de frações resolve com exatidão. Se o que interessa é a ideia de que entre duas frações sempre existe outra, o guia de fração entre duas frações trata dessa densidade.
Pratique
- Ache a fração mais simples entre 0,71 e 0,72.
- Confira se 3/5 e 2/3 são vizinhas e calcule a mediante delas.
- Em qual sequência de Farey 3/7 aparece pela primeira vez?
Ver as respostas
- 5/7 = 0,714285… ≈ 0,7143 (erro menor que 0,00002). Nenhuma fração com denominador menor que 7 cai dentro do intervalo.
- 5 × 2 − 3 × 3 = 1, então são vizinhas. A mediante é (3 + 2)/(5 + 3) = 5/8.
- Em F7, porque o denominador é 7 e 3/7 é irredutível.
Círculos de Ford
Cada fração a/b pode ser desenhada como um círculo de raio 1/(2b²) apoiado na reta numérica em a/b. Dois desses círculos são tangentes exatamente quando as frações cumprem a condição de vizinhança. Assim, o teste de vizinhança é também um teste geométrico de contato.
Quando outra ferramenta é mais direta
A sequência de Farey ajuda a achar termos intermediários e a ver como se distribuem as frações de denominador pequeno. Para ordenar uma lista de frações, a calculadora para ordenar frações aplica a comparação diretamente. Para reduzir uma fração, divida numerador e denominador pelo MDC com a calculadora para simplificar. Outro caminho até aproximações com denominador pequeno são as frações contínuas, que se relacionam com a mediante. As sequências cobrem apenas o trecho de 0 a 1.
Fontes
A Wikipédia em português, no artigo Sequência de Farey, define a sequência como as frações irredutíveis entre 0 e 1 com denominador menor ou igual a n, em ordem crescente (consultado em 17 de outubro de 2026).