Eine Farey-Folge der Ordnung n, geschrieben Fn, listet die vollständig gekürzten Brüche zwischen 0 und 1 mit Nenner höchstens n von klein nach groß auf. F5 hat 11 Terme: 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5 und 1/1. Zwei aufeinanderfolgende Terme a/b und c/d erfüllen bc − ad = 1, und der Bruch mit dem kleinsten Nenner zwischen ihnen ist ihr Mediant (a + c)/(b + d).
Um ein beliebiges Bruchpaar zu prüfen und den Wert dazwischen zu sehen, nutze den Bruch zwischen zwei Brüchen. Dieser Ratgeber erklärt, warum die Nachbarregel funktioniert und wann der Mediant die einfachste Antwort ist.
Rechenbeispiel: der Mediant von 1/3 und 2/5
In F5 stehen diese beiden Brüche direkt nebeneinander. Welcher Bruch wird dazwischen eingefügt, und in welcher Folge erscheint er zum ersten Mal?
- Prüfe, ob es Nachbarn sind. Mit a/b = 1/3 und c/d = 2/5 gilt bc − ad = 3 × 2 − 1 × 5 = 1.
- Addiere getrennt. Zähler: 1 + 2 = 3. Nenner: 3 + 5 = 8.
- Schreibe den Mediant auf. (1 + 2)/(3 + 5) = 3/8.
- Bestimme die Ordnung. Der Nenner ist 8, also erscheint der Bruch zum ersten Mal in F8.
Ergebnis: 3/8 = 0,375, neu in F8.
Probe: 0,333… < 0,375 < 0,4, der Mediant liegt also dazwischen. Außerdem haben 3 und 8 keinen gemeinsamen Teiler, der Bruch ist schon vollständig gekürzt.
Welche Brüche bilden jede Folge?
Vollständig gekürzt heißt, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind, ihr größter gemeinsamer Teiler (ggT) also 1 ist. Deshalb steht 2/4 nicht in F5: Es hat denselben Wert wie 1/2, und jeder Wert wird nur einmal geschrieben. Der ggT-Rechner prüft diese Bedingung.
Jede Folge enthält die vorherige und ergänzt die vollständig gekürzten Brüche, deren Nenner genau n ist. Die Tabelle nennt die Zähler, die in jeder Ordnung dazukommen. F4 ergänzt zum Beispiel zwei Brüche mit Nenner 4.
| Ordnung | Neue Zähler | Gesamt |
|---|---|---|
| F1 | 0 und 1 über 1 | 2 |
| F2 | 1 | 3 |
| F3 | 1 und 2 | 5 |
| F4 | 1 und 3 | 7 |
| F5 | 1, 2, 3 und 4 | 11 |
| F6 | 1 und 5 | 13 |
| F7 | 1 bis 6 | 19 |
| F8 | 1, 3, 5 und 7 | 23 |
Die Gesamtzahl wächst unregelmäßig, weil in jeder Ordnung nur die zu n teilerfremden Zähler dazukommen: sechs Brüche mit Nenner 7, einer Primzahl, aber nur zwei mit Nenner 6. Auf dem Zahlenstrahl für Brüche siehst du, dass jeder neue Bruch in eine Lücke zwischen zwei Termen der vorherigen Liste fällt.
Wie kommt man von Fn zur nächsten Folge?
Um F(n+1) zu bilden, gehst du Fn durch und betrachtest jedes Nachbarpaar a/b und c/d. Ist b + d gleich n + 1, setzt du den Mediant dazwischen. Ist b + d größer, bekommt dieses Paar in diesem Schritt nichts, denn der Mediant gehört zu einer späteren Ordnung.
Bei F5 und n + 1 = 6 haben nur 0/1 mit 1/5 und 4/5 mit 1/1 Nenner, die zusammen 6 ergeben. Es kommen 1/6 und 5/6 dazu, und aus 11 Brüchen werden 13. Für F7 wird in jedes Paar mit Nennersumme 7 ein Mediant eingesetzt, insgesamt sechs (1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 und 6/7); aus 0/1 und 1/6 entsteht zum Beispiel 1/7 und aus 1/4 und 1/3 der Bruch 2/7.
Ab F7 haben die Brüche aus dem Rechenbeispiel die Nennersumme 8, ihr Mediant ist also einer der vier Brüche, die F8 ergänzt. Jeder Schritt ist lokal, denn es zählen nur zwei benachbarte Terme und die Summe ihrer Nenner.
Woran erkennst du, ob zwei Brüche Nachbarn sind?
Zwei Brüche a/b < c/d sind genau dann in irgendeiner Farey-Folge Nachbarn, wenn bc − ad = 1 gilt. Multipliziere über Kreuz und ziehe die beiden Produkte voneinander ab. Ergibt das 1, liegt zwischen den Brüchen kein Bruch mit Nenner höchstens so groß wie der größere der beiden Nenner. Ergibt es 2 oder mehr, gibt es einen.
| Paar a/b und c/d | Rechnung | Nachbarn? |
|---|---|---|
| 2/5 und 1/2 | 5 × 1 − 2 × 2 = 1 | Ja |
| 3/4 und 4/5 | 4 × 4 − 3 × 5 = 1 | Ja |
| 1/6 und 1/4 | 6 × 1 − 1 × 4 = 2 | Nein, 1/5 passt dazwischen |
| 1/5 und 3/4 | 5 × 3 − 1 × 4 = 11 | Nein, es passen mehrere |
Ein Ergebnis größer als 1 zeigt, dass zwischen den beiden Brüchen weitere mit kleinem Nenner liegen. Zwischen 1/6 und 1/4 liegt 1/5.
Warum ergeben Nachbarn immer 1?
Die Eigenschaft bleibt bei jedem Schritt der Konstruktion erhalten. In F1 gilt für 0/1 und 1/1: 1 × 1 − 0 × 1 = 1. Sind a/b und c/d Nachbarn, dann gilt das auch für die beiden Paare, die ihr Mediant (a + c)/(b + d) bildet: b(a + c) − a(b + d) = bc − ad und (b + d)c − (a + c)d = bc − ad. Beide Paare ergeben dasselbe wie das ursprüngliche Paar, also bleibt die Differenz in jeder Ordnung 1.
Warum der Mediant der einfachste Bruch zwischen Nachbarn ist
Sind a/b und c/d Nachbarn (Bedingung aus dem vorigen Abschnitt), hat jeder Bruch p/q streng dazwischen einen Nenner q ≥ b + d, und der einzige mit q = b + d ist der Mediant. Der Grund liegt in den Abständen: p/q − a/b ist positiv und hat den Nenner bq, ist also mindestens 1/(bq); ebenso ist c/d − p/q mindestens 1/(dq). Addiert man beides, muss c/d − a/b = 1/(bd) mindestens (b + d)/(bdq) sein, und daraus folgt q ≥ b + d.
Die Voraussetzung ist wichtig: Die Grenzen müssen Nachbarn sein. Bei 1/3 und 3/4, die keine sind, ist der Mediant 4/7, doch auch 1/2 liegt dazwischen und hat einen kleineren Nenner.
Der einfachste Bruch zwischen zwei Dezimalzahlen
Liegt ein Wert zwischen zwei Dezimalzahlen, suchst du den Bruch mit dem kleinsten Nenner, der dazwischen liegt. Zwischen 0,32 und 0,34 passt kein Bruch mit Nenner 1 oder 2, und mit Nenner 3 erscheint 1/3 = 0,333… (periodisch), der im Intervall liegt. Die Grenzen sind 8/25 und 17/50, mit deutlich größeren Nennern. Um die Grenzen in Brüche umzuwandeln, liefert die Umwandlung von Dezimalzahl in Bruch die exakte Form.
Das allgemeine Verfahren nimmt ein Nachbarpaar, das das Intervall umschließt, und steigt über Mediante, bis einer hineinfällt. Um die Reihenfolge zweier Kandidaten zu prüfen, entscheidet der Brüche-Vergleicher exakt. Wenn dich die Frage beschäftigt, warum zwischen zwei Brüchen immer ein weiterer liegt, behandelt der Ratgeber zum Bruch zwischen zwei Brüchen diese Dichte.
Probier es selbst
- Finde den einfachsten Bruch zwischen 0,71 und 0,72.
- Prüfe, ob 3/5 und 2/3 Nachbarn sind, und berechne ihren Mediant.
- In welcher Farey-Folge erscheint 3/7 zum ersten Mal?
Lösungen anzeigen
- 5/7 = 0,714285… ≈ 0,7143 (Fehler kleiner als 0,00002). Kein Bruch mit Nenner kleiner als 7 liegt im Intervall.
- 5 × 2 − 3 × 3 = 1, also sind es Nachbarn. Der Mediant ist (3 + 2)/(5 + 3) = 5/8.
- In F7, denn der Nenner ist 7 und 3/7 ist vollständig gekürzt.
Ford-Kreise
Jeden Bruch a/b kannst du als Kreis mit Radius 1/(2b²) zeichnen, der den Zahlenstrahl bei a/b berührt. Zwei dieser Kreise berühren sich genau dann, wenn die Brüche die Nachbarbedingung erfüllen. Der Nachbarschaftstest ist damit zugleich ein geometrischer Test auf Berührung.
Wann ein anderes Werkzeug direkter ist
Die Farey-Folge hilft, Zwischenterme zu finden und zu sehen, wie sich Brüche mit kleinem Nenner verteilen. Um eine Liste von Brüchen zu sortieren, wendet der Brüche-sortieren-Rechner den Vergleich direkt an. Um einen Bruch zu kürzen, teilst du Zähler und Nenner mit dem Rechner zum Kürzen durch ihren ggT. Ein weiterer Weg zu Näherungen mit kleinem Nenner sind die Kettenbrüche, die mit dem Mediant zusammenhängen. Die Folgen decken nur den Bereich von 0 bis 1 ab.
Quellen
Die deutschsprachige Wikipedia beschreibt im Artikel Farey-Folge die Folge als geordnete Menge der vollständig gekürzten Brüche zwischen 0 und 1 mit Nennern bis zum Index n. Dort steht auch, dass Brüche a/b < c/d mit bc − ad = 1 Nachbarn sind (abgerufen am 17. Oktober 2026).