Tra due numeri razionali distinti ci sono infinite frazioni. Questo calcolatore ne trova una usando il punto medio aritmetico, equidistante dagli estremi, oppure la medianta, costruita sommando numeratori e denominatori dopo aver ridotto le frazioni. Il risultato include la frazione esatta e la disuguaglianza che ne verifica la posizione.
Come usare la calcolatrice per trovare una frazione tra due frazioni
- Inserisci il primo estremo in «Prima frazione», per esempio
1/3. - Inserisci il secondo estremo in «Seconda frazione», per esempio
1/2. L’ordine non conta. - Scegli il «Metodo»: «Punto medio (equidistante)» oppure «Medianta (somma di numeratori e denominatori)».
- Premi «Calcola». Con il punto medio compare 5/12, seguito dalla disuguaglianza
1/3 < 5/12 < 1/2e dal calcolo(1/3 + 1/2) ÷ 2. - Controlla la retta numerica: mostra l’ordine dei tre valori, ma le distanze non sono in scala.
Quali valori si possono inserire?
Puoi inserire interi, frazioni, numeri misti, decimali finiti o periodici come 0,1(6), con la virgola o il punto come separatore decimale. Sono ammessi anche valori negativi e lo zero. Ogni parte numerica può contenere al massimo 100 cifre e il denominatore deve essere diverso da zero.
I due valori devono essere distinti: 1/2 e 2/4 rappresentano lo stesso razionale, quindi non esiste una frazione strettamente compresa tra loro e la calcolatrice chiede di inserire due numeri razionali distinti. Se inserisci per primo il valore maggiore, il calcolatore riordina gli estremi e mostra la disuguaglianza dal minore al maggiore.
Come si calcolano il punto medio e la medianta?
Entrambi i metodi partono dagli estremi ridotti, con denominatore positivo e ordinati come a/b < c/d. Per due estremi a e b, il punto medio è (a+b)/2. Tra 1/3 e 1/2 si ottiene (1/3+1/2)/2=(5/6)/2=5/12. In dodicesimi, 1/3=4/12 < 5/12 < 6/12=1/2: 5/12 è equidistante dai due estremi.
(1/3 + 1/2)/2 = 5/12
Per frazioni ridotte p/q e r/s con denominatori positivi, la medianta è (p+r)/(q+s). Con gli stessi estremi si ottiene (1+1)/(3+2)=2/5. Infatti 1/3=10/30 < 2/5=12/30 < 1/2=15/30. La medianta è strettamente compresa tra gli estremi, perché è una media pesata con pesi positivi q e s, ma in generale non è il loro punto medio. Dato che ogni estremo viene ridotto prima, 2/4 e 2/3 sono trattati come 1/2 e 2/3 e la medianta è 3/5.
Prima di mostrare il risultato, la calcolatrice lo confronta in modo esatto con i due estremi e lo restituisce solo se verifica entrambe le disuguaglianze strette.
Esempi svolti
Estremi di segno opposto. Tra −1/2 e 1/3, il punto medio è (−1/2 + 1/3)/2 = (−1/6)/2 = −1/12 e la medianta è (−1 + 1)/(2 + 3) = 0. Entrambi stanno tra gli estremi; qui la medianta è un intero.
Due estremi negativi. La medianta funziona anche con due estremi negativi. Tra −2/3 e −1/2 dà −3/5; in trentesimi, −20/30 < −18/30 < −15/30. Per verificare l’ordine usa la disuguaglianza esatta, non la distanza disegnata sulla retta.
Due decimali. Tra 0,3 e 0,4, il punto medio è (3/10 + 2/5)/2 = (7/10)/2 = 7/20, cioè 0,35. La medianta di 3/10 e 2/5 è 5/15 = 1/3, cioè 0,(3), anch’essa compresa tra 0,3 e 0,4.
Tabella: punto medio e medianta di coppie comuni
| Estremi | Punto medio | Medianta |
|---|---|---|
| 1/4 e 1/3 | 7/24 | 2/7 |
| 1/3 e 1/2 | 5/12 | 2/5 |
| 1/2 e 2/3 | 7/12 | 3/5 |
| 2/3 e 3/4 | 17/24 | 5/7 |
| 3/5 e 5/8 | 49/80 | 8/13 |
| 0 e 1 | 1/2 | 1/2 |
| −1/2 e 1/3 | −1/12 | 0 |
| −3/4 e −2/3 | −17/24 | −5/7 |
La medianta ha spesso un denominatore più piccolo del punto medio: tra 3/5 e 5/8, 8/13 contro 49/80.
Esiste una sola frazione tra due frazioni?
No. Tra due razionali distinti esistono infiniti razionali. Il calcolatore ne restituisce uno secondo il metodo scelto; il risultato non è l’unica risposta possibile. Punto medio e medianta, in generale, danno valori diversi: tra 1/3 e 1/2 sono 5/12 e 2/5, ma solo 5/12 si trova alla stessa distanza da entrambi.
2/5 − 1/3 = 2/30 e 1/2 − 2/5 = 3/30; 5/12 − 1/3 = 1/2 − 5/12 = 1/12
Per trovare a mano una frazione intermedia con un denominatore comune, come chiedono molti libri di testo, segui la guida frazione compresa tra due frazioni.
Quando usarla e quando no
Usa questa calcolatrice per gli esercizi del tipo «scrivi una frazione compresa tra…», per controllare che un valore sia tra altri due o per costruire una successione di Farey con la medianta.
Non è lo strumento adatto in questi casi:
- Vuoi solo sapere quale di due frazioni è maggiore. Usa confrontare frazioni.
- Cerchi la media di tre o più valori. Usa la media di frazioni.
- Vuoi ordinare più frazioni e vederle su una retta. Usa le frazioni sulla retta numerica.
Domande frequenti
Come si trova una frazione tra 1/3 e 1/2 con la calcolatrice?
Scrivi 1/3 in «Prima frazione» e 1/2 in «Seconda frazione», scegli il metodo e premi «Calcola». Con «Punto medio (equidistante)» il risultato è 5/12; con la medianta è 2/5. Sotto il risultato compare la disuguaglianza 1/3 < 5/12 < 1/2, con i tre valori collocati su una retta.
In quali formati posso inserire gli estremi?
Interi, frazioni, numeri misti come «1 1/2», decimali finiti come 0,25 e decimali periodici come 0,(3), con la virgola o il punto. Sono ammessi anche valori negativi e lo zero. Ogni parte numerica può avere al massimo 100 cifre e nessun denominatore può essere zero.
Conta l’ordine in cui inserisco le due frazioni?
No. Se inserisci prima il valore maggiore, la calcolatrice mette gli estremi in ordine crescente e lo segnala: «I valori inseriti erano in ordine inverso e sono stati riordinati per mostrare la disuguaglianza.» Con 1/2 e poi 1/3, il punto medio resta 5/12, presentato come 1/3 < 5/12 < 1/2.
Come si trova una frazione compresa tra due numeri decimali?
Inserisci i decimali così come sono: la calcolatrice li converte in frazioni esatte. Tra 0,3 e 0,4 il punto medio è 7/20, cioè 0,35, e la disuguaglianza appare come 3/10 < 7/20 < 2/5. Per rileggere un risultato in forma decimale usa la conversione da frazione a decimale.
Che differenza c’è tra punto medio e medianta di due frazioni?
Il punto medio è la media aritmetica e sta esattamente al centro; la medianta somma numeratori e denominatori e in genere si avvicina all’estremo con il denominatore maggiore. Tra 1/3 e 1/2, il punto medio 5/12 dista 1/12 da ciascun estremo, mentre la medianta 2/5 dista 1/15 da 1/3 e 1/10 da 1/2.
Perché la medianta è sempre compresa tra le due frazioni?
Perché, con denominatori positivi, (a + c)/(b + d) è una media pesata di a/b e c/d, con pesi b e d. Se a/b < c/d, allora a × d < b × c e ne segue a/b < (a + c)/(b + d) < c/d. Per questo la calcolatrice porta prima il segno al numeratore: ogni denominatore è positivo.
Perché la medianta di 2/4 e 2/3 è 3/5 e non 4/7?
Perché la calcolatrice riduce ogni estremo prima di sommare: 2/4 diventa 1/2 e la medianta di 1/2 e 2/3 è (1 + 2)/(2 + 3) = 3/5. Con 2/4 non ridotta si otterrebbe 4/7, anch’essa compresa tra i due valori. La medianta dipende quindi dalla scrittura delle frazioni; il punto medio no.
Conviene scegliere il punto medio o la medianta?
Scegli il punto medio per un valore equidistante dagli estremi o per la media di due dati. Scegli la medianta per una frazione con denominatore piccolo o per costruire una successione di Farey, dove ogni nuovo termine è la medianta dei vicini. Per la media di più di due valori usa la media di frazioni.
Come verifico che la frazione trovata sia davvero tra le altre due?
Porta le tre frazioni allo stesso denominatore e confronta i numeratori. Per 1/3, 2/5 e 1/2 il denominatore comune 30 dà 10/30, 12/30 e 15/30, e 10 < 12 < 15. La calcolatrice fa questo confronto in modo esatto e mostra la disuguaglianza. Per confrontare solo due frazioni usa confrontare frazioni.
Perché il risultato può essere un intero o zero?
Perché anche un intero è un numero razionale. Tra −1/2 e 1/3 la medianta è (−1 + 1)/(2 + 3) = 0, e tra 1 e 2 il punto medio è 3/2. Il risultato resta strettamente compreso tra gli estremi: −1/2 < 0 < 1/3. Nulla obbliga il valore intermedio ad avere denominatore diverso da 1.
Quante frazioni ci sono tra due frazioni?
Infinite. Tra 1/3 e 1/2 si trovano 5/12, 2/5, 3/7, 4/9 e molte altre, perché si può sempre ripetere il calcolo tra il risultato e uno degli estremi. Questa proprietà si chiama densità dei numeri razionali. La calcolatrice mostra una sola risposta esatta, che non è l’unica possibile.
Che cosa succede se inserisco due frazioni uguali, come 1/2 e 2/4?
La calcolatrice non esegue il calcolo e chiede due numeri razionali distinti. 1/2 e 2/4 rappresentano lo stesso numero: nessun valore può stare strettamente tra loro. Se hai dubbi sull’uguaglianza di due frazioni, controllala con le frazioni equivalenti.
Si può trovare una frazione tra due frazioni negative?
Sì. Tra −3/4 e −2/3 il punto medio è −17/24 e la medianta è −5/7. Entrambi verificano −3/4 < risultato < −2/3. Il segno viene portato al numeratore prima del calcolo, quindi i denominatori sono sempre positivi e la medianta resta tra gli estremi.
Si può trovare una frazione tra due numeri interi?
Sì, e per due interi consecutivi i due metodi coincidono. Tra 2 e 3 il punto medio è (2 + 3)/2 = 5/2 e la medianta di 2/1 e 3/1 è (2 + 3)/(1 + 1) = 5/2, cioè due e mezzo. Anche tra 1 e 3 danno lo stesso valore: il punto medio è 2 e la medianta è 4/2 = 2.