Bei einer proportionalen Aufteilung wird eine Gesamtmenge in Teile zerlegt, die im selben Verhältnis stehen wie vorgegebene Gewichte. Teilst du 120 auf zwei Gruppen mit den Gewichten 3 und 5 auf, bekommt die eine 45 und die andere 75. Die Methode hat drei Schritte: die Gewichte addieren, jeden Anteil als Gesamtmenge × Gewicht ÷ Summe berechnen und prüfen, ob die Anteile zusammen die Gesamtmenge ergeben.
Die Gewichte sind relativ: Sie müssen weder zusammen 1 noch 100 ergeben. Bei ganzen Gegenständen und bei Bruchgewichten stellen sich zwei Fragen, die diese Anleitung mit durchgerechneten Fällen beantwortet. Zum direkten Rechnen nimmst du den Rechner zur proportionalen Aufteilung.
| Situation | So löst du es | Beispiel |
|---|---|---|
| Ganze Gewichte, Gesamtmenge teilbar | Gesamtmenge × Gewicht ÷ Summe der Gewichte | 120 im Verhältnis 3 : 5 ergibt 45 und 75 |
| Bruchgewichte | Brüche addieren und jedes Gewicht durch die Summe teilen | 60 mit 1/4 und 1/6 ergibt 36 und 24 |
| Unteilbare Gegenstände | Ganzzahliger Teil jedes Anteils, übrige Einheit an den größten Rest | 11 Gegenstände im Verhältnis 3 : 2 ergeben 7 und 4 |
| Mehr Gewicht, weniger Anteil | Die Kehrwerte als Gewichte nehmen | 70 umgekehrt zu 2 und 5 ergibt 50 und 20 |
Die Tabelle folgt dem Aufbau der Anleitung: Jede Zeile bringt eine Schwierigkeit zum Grundfall der ersten Zeile dazu.
Es gibt zwei Prüfungen, und du brauchst beide. Gibst du jeder Gruppe 60, ergibt das ebenfalls 120, das Verhältnis wäre aber 1 : 1. Gibst du 3 und 5, stimmt das Verhältnis, aber 112 bleiben unverteilt.
Gewichte als Brüche
Du musst die Gewichte weder in ganze Zahlen noch in Prozent umrechnen. Du addierst sie als Brüche und teilst jedes Gewicht durch diese Summe. Um 60 mit den Gewichten 1/4 und 1/6 aufzuteilen, ist der gemeinsame Nenner 12, mit 1/4 = 3/12 und 1/6 = 2/12, zusammen 5/12.
Der Anteil der ersten Gruppe an der Gesamtmenge ist (3/12) ÷ (5/12) = 3/5, der der zweiten 2/5. Die Anteile sind 60 × 3/5 = 36 und 60 × 2/5 = 24, und 36 + 24 = 60. Multiplizierst du beide Gewichte mit 12, erhältst du das ganzzahlige Verhältnis 3 : 2, das zur selben Aufteilung führt.
Gehen die Anteile nicht auf, lässt du sie am besten bis zum Schluss als Bruch stehen. Der Wert 100/3 wird zum Beispiel 33,3̅ geschrieben und nicht 33,33; gerundet wird nur einmal, beim Ergebnis.
Rechenbeispiel: 120 im Verhältnis 3 : 5
Zwei Gruppen erhalten 120 im Verhältnis 3 : 5. Wie viel bekommt jede?
- Addiere die Gewichte. 3 + 5 = 8.
- Schreibe jedes Gewicht als Bruchteil der Gesamtmenge. Die erste Gruppe erhält 3/8, die zweite 5/8.
- Multipliziere mit der Gesamtmenge. 120 × 3/8 = 45 und 120 × 5/8 = 75.
Das Ergebnis ist 45 und 75.
Probe. 45 + 75 = 120. Außerdem gilt 45/3 = 15 und 75/5 = 15, eine Gewichtseinheit ist also in beiden Gruppen gleich viel wert.
Gegenstände, die sich nicht teilen lassen
Bei 11 Gegenständen und den Gewichten 3 : 2 ist die Summe 5, und die Anteile sind 33/5 = 6,6 und 22/5 = 4,4. Keiner ist ganzzahlig. Das Verfahren der größten Reste vergibt zuerst den ganzzahligen Teil, 6 und 4, wofür 10 Gegenstände gebraucht werden. Der übrige Gegenstand geht an die Gruppe mit dem größeren Rest: 0,6 gegenüber 0,4, also an die erste.
| Schritt | Gruppe A (Gewicht 3) | Gruppe B (Gewicht 2) |
|---|---|---|
| Anteil | 33/5 = 6,6 | 22/5 = 4,4 |
| Ganzzahliger Teil | 6 | 4 |
| Rest | 0,6 | 0,4 |
| Übriger Gegenstand | 1 | 0 |
| Endgültige Aufteilung | 7 | 4 |
Alle 11 Gegenstände werden verteilt, aber 7 : 4 ähnelt 3 : 2 nur, denn keine ganzzahlige Aufteilung von 11 kann in diesem Verhältnis exakt sein. Würdest du jeden Anteil einzeln runden, kämen hier zufällig auch 7 und 4 heraus; bei anderen Zahlen kann die Summe größer oder kleiner als die Gesamtmenge ausfallen. Deshalb wird die übrige Einheit nach einer festen Regel vergeben. Liegen zwei Reste gleichauf, muss die Regel sagen, wer gewinnt.
Umgekehrte Aufteilung
Manchmal bekommt mehr, wer das kleinere Gewicht hat, etwa bei einer Aufteilung umgekehrt proportional zum Alter. Das löst du genauso, mit den Kehrwerten als Gewichten. Um 70 umgekehrt zu 2 und 5 aufzuteilen, sind die Gewichte 1/2 und 1/5, zusammen 7/10.
Die Bruchteile der Gesamtmenge sind (1/2) ÷ (7/10) = 5/7 und (1/5) ÷ (7/10) = 2/7. Die Anteile sind 70 × 5/7 = 50 und 70 × 2/7 = 20. Wer das Gewicht 2 hat, bekommt mehr als wer das Gewicht 5 hat, wie verlangt, und 50 + 20 = 70.
Üben
- Teile 90 im Verhältnis 1 : 2 : 3 auf.
- Teile 50 mit den Gewichten 2/3 und 1/3 auf.
- Verteile 8 Gegenstände im Verhältnis 1 : 2 nach dem Verfahren der größten Reste.
- Teile 84 umgekehrt zu 3 und 4 auf.
Lösungen anzeigen
- 15, 30 und 45 (die Summe der Gewichte ist 6, und jede Einheit ist 15 wert).
- 100/3 und 50/3, also 33,3̅ und 16,6̅; zusammen 50.
- 3 und 5, denn die Anteile 8/3 und 16/3 haben die ganzzahligen Teile 2 und 5, und der übrige Gegenstand geht an den Rest 2/3.
- 48 und 36, denn die Gewichte 1/3 und 1/4 ergeben zusammen 7/12, die Bruchteile der Gesamtmenge sind 4/7 und 3/7, und 84 × 4/7 = 48.
Quelle und Werkzeuge
OpenStax (auf Englisch): „Standard Divisors, Standard Quotas, and the Apportionment Problem“ erklärt Standardquoten und die Verteilung von Einheiten, die nur ganz vergeben werden können (abgerufen am 17. Oktober 2026). Mehrere Gruppen rechnest du mit der proportionalen Aufteilung. Den Zusammenhang von Verhältnis, Proportion und Bruch erklärt der Ratgeber zu Verhältnis, Proportion und Bruch, und für einen einzelnen Teil eignet sich der Bruchteil einer Menge. Das Rätsel der 17 Kamele arbeitet mit einer Aufteilung, bei der die Brüche nicht 1 ergeben. Um Gewichte zu verkleinern, hilft Verhältnisse kürzen.