Uma repartição proporcional divide um total em partes que mantêm a mesma relação de pesos dados. Se 120 é dividido entre dois grupos com pesos 3 e 5, um recebe 45 e o outro 75. O método tem três passos: somar os pesos, calcular cada cota como total × peso ÷ soma e conferir se as cotas somam o total.
Os pesos são relativos e não precisam somar 1 nem 100. Quando a repartição envolve objetos inteiros ou pesos fracionários, surgem duas decisões que este guia explica com casos resolvidos. Para calcular direto, use a calculadora de divisão proporcional.
| Situação | Como se resolve | Exemplo |
|---|---|---|
| Pesos inteiros, total divisível | Total × peso ÷ soma dos pesos | 120 em 3:5 dá 45 e 75 |
| Pesos fracionários | Some as frações e divida cada peso pela soma | 60 com 1/4 e 1/6 dá 36 e 24 |
| Objetos indivisíveis | Parte inteira de cada cota e a unidade restante ao maior resto | 11 objetos em 3:2 dão 7 e 4 |
| Mais peso, menos parte | Use os inversos como pesos | 70 inverso a 2 e 5 dá 50 e 20 |
A tabela segue o guia em ordem: cada linha acrescenta uma dificuldade ao caso básico da primeira.
São duas conferências, e as duas são necessárias. Dar 60 a cada grupo também soma 120, mas a razão seria 1:1. Dar 3 e 5 mantém a razão, mas deixa 112 sem repartir.
Pesos que são frações
Não é preciso converter os pesos em inteiros nem em porcentagens. Eles se somam como frações e cada peso é dividido por essa soma. Para repartir 60 com pesos 1/4 e 1/6, o denominador comum é 12, com 1/4 = 3/12 e 1/6 = 2/12, que somam 5/12.
A fração do total do primeiro grupo é (3/12) ÷ (5/12) = 3/5 e a do segundo é 2/5. As cotas são 60 × 3/5 = 36 e 60 × 2/5 = 24, e 36 + 24 = 60. Multiplicar os dois pesos por 12 dá a razão inteira 3:2, que leva à mesma repartição.
Se as cotas não saírem inteiras, convém deixá-las como fração até o fim. O valor 100/3, por exemplo, escreve-se 33,(3) e não 33,33; o arredondamento é aplicado uma só vez, ao resultado.
Exemplo resolvido: 120 na razão 3:5
Dois grupos recebem 120 na razão 3:5. Quanto cabe a cada um?
- Some os pesos. 3 + 5 = 8.
- Passe cada peso a fração do total. O primeiro grupo recebe 3/8 e o segundo 5/8.
- Multiplique pelo total. 120 × 3/8 = 45 e 120 × 5/8 = 75.
O resultado é 45 e 75.
Conferência. 45 + 75 = 120. Além disso, 45/3 = 15 e 75/5 = 15, ou seja, cada unidade de peso vale o mesmo nos dois grupos.
Objetos que não podem ser partidos
Com 11 objetos e pesos 3:2, a soma é 5 e as cotas são 33/5 = 6,6 e 22/5 = 4,4. Nenhuma é inteira. O método dos maiores restos atribui primeiro a parte inteira, 6 e 4, que usa 10 objetos. O objeto restante vai para o grupo com maior resto: 0,6 contra 0,4, então fica com o primeiro.
| Passo | Grupo A (peso 3) | Grupo B (peso 2) |
|---|---|---|
| Cota | 33/5 = 6,6 | 22/5 = 4,4 |
| Parte inteira | 6 | 4 |
| Resto | 0,6 | 0,4 |
| Objeto restante | 1 | 0 |
| Repartição final | 7 | 4 |
Os 11 objetos são usados, mas 7:4 só se parece com 3:2, porque nenhuma repartição inteira de 11 pode ser exata nessa razão. Arredondar cada cota separadamente daria 7 e 4 aqui por acaso; com outros números a soma pode ficar acima ou abaixo do total, e por isso a unidade restante é distribuída por uma regra fixa. Se dois restos empatarem, a regra deve dizer quem fica com ela.
Repartição inversa
Às vezes recebe mais quem tem menos peso, como numa repartição inversamente proporcional às idades. Resolve-se da mesma forma, com os inversos como pesos. Para repartir 70 de forma inversa a 2 e 5, os pesos são 1/2 e 1/5, que somam 7/10.
As frações do total são (1/2) ÷ (7/10) = 5/7 e (1/5) ÷ (7/10) = 2/7. As cotas são 70 × 5/7 = 50 e 70 × 2/7 = 20. Quem tem peso 2 recebe mais que quem tem peso 5, como se pedia, e 50 + 20 = 70.
Pratique
- Reparta 90 na razão 1:2:3.
- Reparta 50 com pesos 2/3 e 1/3.
- Reparta 8 objetos na razão 1:2 pelos maiores restos.
- Reparta 84 de forma inversa a 3 e 4.
Ver as respostas
- 15, 30 e 45 (a soma dos pesos é 6 e cada unidade vale 15).
- 100/3 e 50/3, ou seja, 33,(3) e 16,(6); somam 50.
- 3 e 5, porque as cotas 8/3 e 16/3 dão partes inteiras 2 e 5, e o objeto restante vai para o resto 2/3.
- 48 e 36, porque os pesos 1/3 e 1/4 somam 7/12, as frações do total são 4/7 e 3/7, e 84 × 4/7 = 48.
Fontes e ferramentas
Para calcular vários grupos, use divisão proporcional. A relação entre razão, proporção e fração está no guia de razão, proporção e fração, e para uma só parte serve fração de uma quantidade. O enigma dos 17 camelos usa uma repartição em que as frações não somam um. Para reduzir pesos, veja simplificar razões.