Un partage au prorata divise un total en parts qui gardent le même rapport que des poids donnés. Si l’on partage 120 entre deux groupes de poids 3 et 5, l’un reçoit 45 et l’autre 75. La méthode tient en trois étapes : additionner les poids, calculer chaque part comme total × poids ÷ somme, puis vérifier que les parts redonnent le total.
Les poids sont relatifs : leur somme n’a pas besoin de valoir 1 ni 100. Quand on partage des objets entiers ou que les poids sont des fractions, deux choix apparaissent, que ce guide explique avec des cas résolus. Pour calculer directement, utilisez le calculateur de partage proportionnel.
| Situation | Comment la résoudre | Exemple |
|---|---|---|
| Poids entiers, total divisible | Total × poids ÷ somme des poids | 120 selon 3 : 5 donne 45 et 75 |
| Poids fractionnaires | Additionnez les fractions et divisez chaque poids par la somme | 60 avec 1/4 et 1/6 donne 36 et 24 |
| Objets indivisibles | Partie entière de chaque part, puis l’unité restante au plus fort reste | 11 objets selon 3 : 2 donnent 7 et 4 |
| Plus de poids, moins de part | Prenez les inverses comme poids | 70 en parts inversement proportionnelles à 2 et 5 donne 50 et 20 |
Le tableau suit le guide dans l’ordre : chaque ligne ajoute une difficulté au cas de base de la première.
Il faut effectuer deux vérifications, et les deux sont indispensables. Donner 60 à chaque groupe totalise aussi 120, mais le rapport serait 1 : 1. Donner 3 et 5 garde le rapport, mais laisse 112 sans partager.
Poids fractionnaires
Inutile de convertir les poids en entiers ou en pourcentages. On les additionne comme des fractions, puis on divise chaque poids par cette somme. Pour partager 60 avec les poids 1/4 et 1/6, le dénominateur commun est 12, avec 1/4 = 3/12 et 1/6 = 2/12, soit 5/12 au total.
La fraction du total du premier groupe est (3/12) ÷ (5/12) = 3/5 et celle du second est 2/5. Les parts sont 60 × 3/5 = 36 et 60 × 2/5 = 24, et 36 + 24 = 60. Multiplier les deux poids par 12 donne le rapport entier 3 : 2, qui mène au même partage.
Si les parts ne sont pas entières, gardez-les sous forme de fraction jusqu’au bout. La valeur 100/3, par exemple, s’écrit 33,3̅ et non 33,33 ; l’arrondi s’applique une seule fois, au résultat.
Exemple résolu : 120 selon le rapport 3 : 5
Deux groupes reçoivent 120 selon le rapport 3 : 5. Combien revient à chacun ?
- Additionnez les poids. 3 + 5 = 8.
- Exprimez chaque poids en fraction du total. Le premier groupe reçoit 3/8 et le second 5/8.
- Multipliez par le total. 120 × 3/8 = 45 et 120 × 5/8 = 75.
Le résultat est 45 et 75.
Vérification. 45 + 75 = 120. De plus, 45/3 = 15 et 75/5 = 15 : chaque unité de poids vaut la même chose dans les deux groupes.
Objets indivisibles
Avec 11 objets et les poids 3 : 2, la somme est 5 et les parts sont 33/5 = 6,6 et 22/5 = 4,4. Aucune n’est entière. La méthode du plus fort reste attribue d’abord la partie entière, 6 et 4, ce qui utilise 10 objets. L’objet restant va au groupe qui a le plus fort reste : 0,6 contre 0,4, il revient donc au premier.
| Étape | Groupe A (poids 3) | Groupe B (poids 2) |
|---|---|---|
| Part | 33/5 = 6,6 | 22/5 = 4,4 |
| Partie entière | 6 | 4 |
| Reste | 0,6 | 0,4 |
| Objet restant | 1 | 0 |
| Partage final | 7 | 4 |
Les 11 objets sont utilisés, mais 7 : 4 ne fait que ressembler à 3 : 2, car aucun partage entier de 11 ne peut être exact selon ce rapport. Arrondir chaque part séparément donnerait 7 et 4 ici par hasard ; avec d’autres nombres, la somme peut dépasser le total ou rester en dessous, d’où une règle fixe pour attribuer l’unité restante. Si deux restes sont à égalité, la règle doit dire qui l’emporte.
Partage inverse
Parfois, celui qui a le moins de poids reçoit le plus, comme dans un partage inversement proportionnel aux âges. On le résout de la même façon, avec les inverses comme poids. Pour partager 70 en parts inversement proportionnelles à 2 et 5, les poids sont 1/2 et 1/5, soit 7/10 au total.
Les fractions du total sont (1/2) ÷ (7/10) = 5/7 et (1/5) ÷ (7/10) = 2/7. Les parts sont 70 × 5/7 = 50 et 70 × 2/7 = 20. Celui de poids 2 reçoit plus que celui de poids 5, comme demandé, et 50 + 20 = 70.
Exercices
- Partagez 90 selon le rapport 1 : 2 : 3.
- Partagez 50 avec les poids 2/3 et 1/3.
- Partagez 8 objets selon le rapport 1 : 2 avec la méthode du plus fort reste.
- Partagez 84 inversement proportionnellement à 3 et 4.
Voir les réponses
- 15, 30 et 45 (la somme des poids est 6 et chaque unité vaut 15).
- 100/3 et 50/3, soit 33,3̅ et 16,6̅ ; leur somme est 50.
- 3 et 5, car les parts 8/3 et 16/3 ont pour parties entières 2 et 5, et l’objet restant va au reste 2/3.
- 48 et 36, car les poids 1/3 et 1/4 totalisent 7/12, les fractions du total sont 4/7 et 3/7, et 84 × 4/7 = 48.
Sources et outils
Wikipédia en français présente, dans la section « Quantités inversement proportionnelles », le cas où une grandeur varie en sens inverse d’une autre (consulté le 17 octobre 2026). Les calculs de ce guide se vérifient par les sommes et les rapports résolus ci-dessus. Pour calculer plusieurs groupes, utilisez le partage proportionnel. Le lien entre rapport, proportion et fraction est dans le guide rapport, proportion et fraction, et pour une seule part, fraction d’une quantité suffit. L’énigme des 17 chameaux utilise un partage où les fractions ne totalisent pas un. Pour réduire les poids, voyez simplifier un rapport.