Avec 17 chameaux, on ne peut pas donner la moitié, le tiers et le neuvième sans en couper un. Le voyageur qui prête le sien règle la question : à 18, les parts sont de 9, 6 et 2, et le chameau prêté retourne à son propriétaire. Les calculs n’ont rien de truqué. Le testament ne partage que 17/18 de l’héritage, et ce 1/18 que personne ne reçoit correspond justement au chameau en trop.
Cette énigme est un récit traditionnel de partage, qui existe en de nombreuses versions. Vous verrez plus bas quelles fractions la font fonctionner et pourquoi chaque frère y gagne.
Exemple résolu : le partage des 17 chameaux
Un père laisse 17 chameaux : la moitié à l’aîné, le tiers au cadet et le neuvième au benjamin. Un voyageur ajoute le sien. Combien de chameaux chaque fils reçoit-il ?
- Ajoutez le chameau prêté. Il y a 17 + 1 = 18 chameaux.
- Calculez la part de l’aîné. La moitié de 18 est 9.
- Calculez la part du cadet. Le tiers de 18 est 6.
- Calculez la part du benjamin. Un neuvième de 18 s’écrit 18 × 1/9 et vaut 2.
- Additionnez ce qui est distribué. 9 + 6 + 2 = 17, il reste donc un chameau.
Résultat : 9, 6 et 2 chameaux, et le voyageur reprend le sien.
Vérification : les parts entières font 17, exactement l’héritage réel. Personne n’a coupé un animal.
Pourquoi il reste un chameau
La raison se trouve dans la somme des fractions du testament. Additionnez d’abord 1/2 + 1/3 = 5/6. Convertissez 5/6 en dix-huitièmes, soit 15/18, puis ajoutez 1/9 = 2/18 : le total est 17/18. Pour revérifier une étape, la calculatrice d’addition de fractions montre chaque dénominateur commun.
Les trois fractions font moins de 1. Le père a laissé 1/18 de l’héritage sans destinataire. Sur 18 chameaux, 1/18 est un chameau entier, celui qu’on rend. Sur 17 chameaux, cette part vaut 17/18 d’animal, ce que personne ne peut recevoir tel quel.
Chaque frère gagne dans la même proportion
Appliqué à 17 chameaux, le testament donnerait des parts fractionnaires. Avec le prêt, chaque frère reçoit davantage.
| Fils | Part écrite | Reçoit | Gagne |
|---|---|---|---|
| Aîné | 17/2 = 8 1/2 | 9 | 1/2 |
| Cadet | 17/3 = 5 2/3 | 6 | 1/3 |
| Benjamin | 17/9 = 1 8/9 | 2 | 1/9 |
Chaque gain vaut 1/17 de la part écrite : le gain de 1/2 est le dix-septième de 8,5. Le résultat respecte donc les proportions : 9 : 6 : 2 équivaut à moitié : tiers : neuvième, en multipliant tout par 18. Personne n’est lésé, et chaque fils reçoit 18/17 de ce qui lui revenait.
Le même partage sans chameau prêté
Partagez les 17 chameaux selon le rapport 9 : 6 : 2, dont la somme est 17. L’aîné reçoit 17 × 9/17 = 9, le cadet 6 et le benjamin 2. Le chameau du voyageur est un moyen d’arriver à cette proportion sans calcul.
Pour d’autres totaux, la calculatrice de partage proportionnel fait ce calcul avec des poids écrits sous forme de fractions. Le guide des partages avec des fractions explique comment poser le problème.
Quand l’énigme fonctionne
L’astuce exige que les fractions aient pour somme n/(n + 1), avec n chameaux et un seul prêté. De plus, chaque dénominateur doit diviser n + 1, pour que les parts soient entières.
| Chameaux | Fractions | Avec un chameau prêté | Partage |
|---|---|---|---|
| 7 | moitié, 1/4, 1/8 | 8 | 4, 2, 1 |
| 11 | moitié, 1/4, 1/6 | 12 | 6, 3, 2 |
| 19 | moitié, 1/4, 1/5 | 20 | 10, 5, 4 |
| 23 | moitié, 1/3, 1/8 | 24 | 12, 8, 3 |
Vérifiez la ligne de 11 : 6/12 + 3/12 + 2/12 = 11/12, et 12 est un multiple de 2, de 4 et de 6. Avec 35 chameaux et les fractions du problème d’origine, le partage de 36 donne 18 + 12 + 4 = 34 et il en reste deux : rendre un seul chameau ne suffit plus à boucler le compte.
Si les fractions avaient exactement 1 pour somme, comme 1/2 + 1/3 + 1/6, il ne resterait rien et il n’y aurait aucun prêt à rendre.
D’où vient l’énigme
Le récit est attribué, dans la tradition chiite, à l’imam Ali, et l’historien Pierre Ageron a étudié la circulation de cette attribution et son arrivée en Europe. Son article porte sur l’histoire du récit. L’arithmétique du partage est celle qui précède, quel que soit le conteur.
Sources
- Pierre Ageron, « Le partage des dix-sept chameaux et autres exploits arithmétiques attribués à l’imâm ʿAlî », Revue d’histoire des mathématiques 19(1), 2013, p. 1-41. La page de la Société mathématique de France en donne le résumé : doi.org/10.24033/rhm.169 (consulté le 16 octobre 2026).
- Wikipédia en français, article Fraction (mathématiques), sur l’addition de fractions et le dénominateur commun (consulté le 16 octobre 2026).