Teka-teki 17 Unta, Dijelaskan dengan Pecahan

calculadorafracciones.com · https://calculadorafracciones.com/id/blog/teka-teki-17-unta/

Seorang ayah mewariskan 17 unta kepada tiga anaknya: setengah untuk si sulung, sepertiga untuk anak kedua, dan sepersembilan untuk si bungsu. Tidak satu pun bagian itu berupa bilangan bulat, dan mereka tidak mau memotong seekor unta pun. Seorang pengembara meminjamkan untanya, pembagian menjadi pas, dan pada akhirnya unta pinjaman itu kembali kepada pemiliknya.

Teka-teki tradisional ini beredar dalam banyak versi. Penjelasannya hanyalah penjumlahan pecahan: wasiat itu tidak membagikan seluruh warisan.

Pemecahan dengan unta pinjaman

Dengan unta milik pengembara, jumlahnya menjadi 18 ekor. Sekarang ketiga bagian berupa bilangan bulat:

• si sulung mendapat setengah dari 18: 9 unta;
• anak kedua mendapat sepertiga dari 18: 6 unta;
• si bungsu mendapat sepersembilan dari 18: 2 unta.

Yang dibagikan seluruhnya 9 + 6 + 2 = 17 unta. Tersisa satu, yaitu unta pinjaman, dan unta itu kembali ke pemiliknya. Tidak ada unta yang dipotong dan tidak ada yang kehilangan untanya.

Mengapa ada satu unta yang tersisa

Ketiga pecahan dalam wasiat tidak berjumlah 1. Dengan penyebut bersama 18:

1/2 + 1/3 + 1/9 = 9/18 + 6/18 + 2/18 = 17/18.

Sang ayah hanya membagikan 17/18 warisan dan membiarkan 1/18 tidak terbagi. Dari 18 unta, 1/18 tepat satu ekor, yaitu unta yang tersisa lalu dikembalikan. Dari 17 unta, 1/18 warisan sama dengan 17/18 ekor unta, bagian yang tidak diterima siapa pun jika wasiat dijalankan apa adanya. Penjumlahan ini bisa dicek dengan kalkulator penjumlahan pecahan, yang menuliskan 9/18, 6/18, dan 2/18 sebelum menjumlahkannya.

Apakah setiap anak mendapat haknya?

Mereka justru mendapat sedikit lebih banyak. Jika wasiat diterapkan pada 17 unta, bagiannya bukan bilangan bulat:

Ketiga selisih itu berjumlah 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 ekor unta, tepat sama dengan bagian warisan yang tidak disebut dalam wasiat. Pinjaman unta membagikan sisa tersebut kepada ketiganya dengan perbandingan yang sama seperti bagian mereka. Tidak ada yang dirugikan; masing-masing menerima lebih dari yang tertulis.

Pembagian proporsional memberi hasil yang sama

Wasiat itu juga bisa dibaca sebagai pembagian 17 unta sebanding dengan 1/2 : 1/3 : 1/9. Kalikan ketiga pecahan dengan 18 untuk mendapat perbandingan bulat yang setara, 9 : 6 : 2, yang jumlahnya 17. Maka:

• sulung: 17 × 9/17 = 9;
• kedua: 17 × 6/17 = 6;
• bungsu: 17 × 2/17 = 2.

Hasilnya sama, tanpa pinjaman dan tanpa sisa. Unta milik pengembara hanyalah jalan pintas menuju perbandingan itu tanpa berhitung. Coba sendiri di pembagian proporsional: masukkan total 17 dan bobot 1/2, 1/3, dan 1/9, satu per baris; bagian tepatnya 9, 6, dan 2. Panduan pembagian dengan pecahan menjelaskan caranya dengan contoh lain.

Versi lain teka-teki ini

Trik yang sama berlaku untuk bilangan lain selama pecahannya memenuhi syarat tertentu:

Pada versi 35 unta dengan pecahan yang sama, yang dibagikan 18 + 12 + 4 = 34 dan tersisa dua: satu unta pinjaman, satu lagi untuk orang yang membagi. Setiap anak tetap untung: 18 dibanding 17 1/2, 12 dibanding 11 2/3, dan 4 dibanding 3 8/9. Versi inilah yang diceritakan penulis Brasil Malba Tahan dalam O Homem que Calculava. Kisah 17 unta, dugaan asal-usulnya dari tradisi Arab-Islam, dan penyebarannya di Eropa dikaji dalam artikel Pierre Ageron di Revue d’histoire des mathématiques (2013, berbahasa Prancis).

Cara menyusun teka-teki serupa

Untuk warisan n unta dengan satu unta pinjaman, diperlukan dua syarat:

1. Jumlah pecahannya n/(n + 1). Dengan begitu, dari n + 1 unta tepat n yang dibagikan dan satu tersisa. Untuk 17: 17/18. Untuk 11: 1/2 + 1/4 + 1/6 = 6/12 + 3/12 + 2/12 = 11/12.
2. Setiap penyebut membagi n + 1. Dengan begitu, setiap bagian dari n + 1 berupa bilangan bulat. Untuk 17: 2, 3, dan 9 membagi 18.

Versi 35 tidak memenuhi syarat pertama: 17/18 = 34/36, bukan 35/36. Itulah sebabnya dari 36 unta tersisa 36 × 1/18 = 2 ekor. Jika pecahannya berjumlah tepat 1, tidak akan ada sisa dan unta pinjaman tidak bisa dikembalikan.

Pertanyaan umum

Apakah ini tipuan matematika?

Tidak ada hitungan yang salah. Hasilnya mengejutkan karena kita mengira “setengah, sepertiga, dan sepersembilan” membagi seluruh warisan, padahal hanya 17/18.

Apakah pembagiannya adil?

Pembagian itu mempertahankan perbandingan bagian dalam wasiat (9 : 6 : 2) dan memberi setiap anak lebih banyak daripada yang tertulis. Jika sang ayah ingin seluruh warisan dibagi dengan perbandingan itu, inilah pembagian yang tepat.

Bisakah diselesaikan tanpa unta pinjaman?

Bisa. Cukup bagi 17 dengan perbandingan 9 : 6 : 2, seperti pada bagian pembagian proporsional. Kalkulator pecahan juga dapat dipakai untuk mengecek setiap bagian: 17 × 9/17 = 9.