Un padre lascia 17 cammelli ai tre figli: metà al maggiore, un terzo al secondo e un nono al più giovane. Nessuna di queste parti è un numero intero di cammelli, e i fratelli non vogliono dividere un animale. Un viaggiatore presta loro il suo cammello, la spartizione torna esatta e alla fine il viaggiatore si riprende il proprio.
Questo indovinello tradizionale circola in molte versioni. La spiegazione sta in una somma di frazioni: il testamento non assegna tutta l’eredità.
La soluzione del cammello in prestito
Con il cammello del viaggiatore i cammelli diventano 18, e le tre parti diventano intere:
- il maggiore riceve metà di 18: 9 cammelli;
- il secondo riceve un terzo di 18: 6 cammelli;
- il più giovane riceve un nono di 18: 2 cammelli.
In tutto si consegnano 9 + 6 + 2 = 17 cammelli. Ne resta uno, quello prestato, che torna al proprietario. Nessun cammello è stato diviso e nessuno ha perso il suo.
Perché avanza un cammello
Le tre frazioni del testamento non danno 1. Con il denominatore comune 18:
1/2 + 1/3 + 1/9 = 9/18 + 6/18 + 2/18 = 17/18.
Il padre ha assegnato 17/18 dell’eredità e ha lasciato senza destinatario 1/18. Su 18 cammelli, 1/18 è esattamente un cammello: quello che avanza e viene restituito. Su 17 cammelli, invece, 1/18 dell’eredità corrisponde a 17/18 di cammello, una quantità che nessuno riceve se si applica il testamento alla lettera. La somma si può controllare con la somma di frazioni, che riscrive 9/18, 6/18 e 2/18 prima di sommare.
Ogni fratello riceve quanto gli spetta?
Riceve qualcosa in più. Applicato a 17 cammelli, il testamento darebbe parti non intere:
| Fratello | Parte esatta di 17 | Riceve con il prestito | Differenza |
|---|---|---|---|
| Maggiore (1/2) | 17/2 = 8 1/2 | 9 | +1/2 |
| Secondo (1/3) | 17/3 = 5 2/3 | 6 | +1/3 |
| Più giovane (1/9) | 17/9 = 1 8/9 | 2 | +1/9 |
Le tre differenze sommano 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 di cammello: proprio la parte di eredità che il testamento lasciava libera. Il prestito distribuisce quell’avanzo fra i tre nella stessa proporzione delle loro quote. Nessuno ci rimette; tutti ricevono più di quanto il testo assegnava.
La ripartizione proporzionale dà lo stesso risultato
Il testamento si può anche leggere così: i 17 cammelli si ripartiscono in proporzione 1/2 : 1/3 : 1/9. Moltiplicando le tre frazioni per 18 si ottiene il rapporto intero equivalente 9 : 6 : 2, la cui somma è 17. Quindi:
- maggiore: 17 × 9/17 = 9;
- secondo: 17 × 6/17 = 6;
- più giovane: 17 × 2/17 = 2.
Si ottiene la stessa spartizione, senza prestito e senza avanzo. Il cammello del viaggiatore è un modo per arrivare a quella proporzione senza fare conti. Puoi provarlo nella ripartizione proporzionale: inserisci il totale 17 e i pesi 1/2, 1/3 e 1/9, uno per riga; le parti esatte sono 9, 6 e 2. La guida sulle ripartizioni con le frazioni spiega il metodo con altri esempi.
Altre versioni dell’indovinello
Il trucco funziona anche con altri numeri, purché le frazioni rispettino una condizione:
| Eredità | Frazioni | Con un prestito | Spartizione | Avanzano |
|---|---|---|---|---|
| 11 | 1/2, 1/4, 1/6 | 12 | 6, 3, 2 | 1 (restituito) |
| 17 | 1/2, 1/3, 1/9 | 18 | 9, 6, 2 | 1 (restituito) |
| 19 | 1/2, 1/4, 1/5 | 20 | 10, 5, 4 | 1 (restituito) |
| 23 | 1/2, 1/3, 1/8 | 24 | 12, 8, 3 | 1 (restituito) |
| 35 | 1/2, 1/3, 1/9 | 36 | 18, 12, 4 | 2 |
Nella versione con 35 cammelli e le stesse frazioni si distribuiscono 18 + 12 + 4 = 34 cammelli e ne avanzano due: uno è quello prestato, l’altro resta a chi ha fatto la spartizione. Anche qui ogni fratello guadagna: 18 invece di 17 1/2, 12 invece di 11 2/3 e 4 invece di 3 8/9. È la versione raccontata in O Homem que Calculava, dello scrittore brasiliano Malba Tahan. Il racconto dei 17 cammelli, la sua presunta origine arabo-islamica e la sua diffusione in Europa sono studiati in un articolo di Pierre Ageron nella Revue d’histoire des mathématiques (2013, in francese).
Come si costruisce un indovinello del genere
Per un’eredità di n cammelli e un solo cammello in prestito servono due condizioni:
- Le frazioni sommano n/(n + 1). Così, degli n + 1 cammelli se ne distribuiscono esattamente n e ne avanza uno. Per 17: 17/18. Per 11: 1/2 + 1/4 + 1/6 = 6/12 + 3/12 + 2/12 = 11/12.
- Ogni denominatore divide n + 1. Così ogni parte di n + 1 è intera. Per 17: 2, 3 e 9 dividono 18.
La versione con 35 non rispetta la prima condizione: 17/18 = 34/36, non 35/36. Per questo su 36 ne avanzano 36 × 1/18 = 2. Se le frazioni sommassero esattamente 1, non avanzerebbe nulla e il cammello prestato non si potrebbe restituire.
Domande frequenti
È un trucco matematico?
Nei conti non c’è alcun errore. L’effetto sorprende perché si dà per scontato che «metà, un terzo e un nono» assegnino tutta l’eredità, mentre ne assegnano solo 17/18.
La spartizione è giusta?
Rispetta la proporzione fra le quote del testamento (9 : 6 : 2) e dà a ciascun fratello più di quanto il testo prevedeva. Se il padre voleva dividere tutto in quella proporzione, è la spartizione esatta.
Si può risolvere senza il cammello in prestito?
Sì: basta ripartire 17 in proporzione 9 : 6 : 2, come nel paragrafo sulla ripartizione proporzionale. Per controllare ogni parte si può usare anche il calcolatore di frazioni: 17 × 9/17 = 9.