Com 17 camelos não dá para entregar metade, um terço e um nono sem partir nenhum. O viajante que empresta o seu camelo resolve: com 18 saem 9, 6 e 2, e o camelo emprestado volta ao dono. Não há truque nas contas. O testamento reparte apenas 17/18 da herança, e esse 1/18 que ninguém recebe é justamente o camelo que sobra.
O enigma é uma história tradicional de partilha, com muitas versões. Mais abaixo aparecem as frações que o fazem funcionar e o motivo de cada irmão sair ganhando.
Exemplo resolvido: a partilha dos 17 camelos
Um pai deixa 17 camelos: metade para o filho mais velho, um terço para o do meio e um nono para o mais novo. Um viajante acrescenta o seu. Quantos camelos recebe cada filho?
- Some o camelo emprestado. São 17 + 1 = 18 camelos.
- Calcule a parte do mais velho. Metade de 18 é 9.
- Calcule a parte do filho do meio. Um terço de 18 é 6.
- Calcule a parte do mais novo. Um nono de 18 é 18 × 1/9 = 2.
- Some o que foi entregue. 9 + 6 + 2 = 17, então sobra um camelo.
Resultado: 9, 6 e 2 camelos, e o viajante recupera o seu.
Conferência: as partes inteiras somam 17, exatamente a herança verdadeira. Ninguém partiu um animal.
Por que sobra um camelo
O motivo está na soma das frações do testamento. Some primeiro 1/2 + 1/3 = 5/6. Passe 5/6 para dezoito avos, que são 15/18, e acrescente 1/9 = 2/18: o total é 17/18. Para conferir um passo, a calculadora para somar frações mostra cada denominador comum.
As três frações somam menos de 1. O pai deixou sem destino 1/18 da herança. Com 18 camelos, 1/18 é um camelo inteiro, o que se devolve. Com 17 camelos, essa parte equivale a 17/18 de um animal, algo que ninguém pode receber assim.
Cada irmão ganha na mesma proporção
Aplicado a 17 camelos, o testamento daria partes fracionárias. Com o empréstimo, cada irmão recebe mais do que isso.
| Filho | Parte escrita | Recebe | Ganha |
|---|---|---|---|
| Mais velho | 17/2 = 8 1/2 | 9 | 1/2 |
| Do meio | 17/3 = 5 2/3 | 6 | 1/3 |
| Mais novo | 17/9 = 1 8/9 | 2 | 1/9 |
Cada ganho é 1/17 da parte escrita: o ganho de meio camelo é a décima sétima parte de 8,5. Por isso o resultado respeita as proporções: 9 : 6 : 2 é o mesmo que metade : terço : nono, multiplicando tudo por 18. Ninguém sai prejudicado, e cada filho recebe 18/17 do que lhe cabia.
A mesma partilha sem camelo emprestado
Divida os 17 camelos na proporção 9 : 6 : 2, cuja soma é 17. O mais velho recebe 17 × 9/17 = 9, o do meio 6 e o mais novo 2. O camelo do viajante é uma forma de chegar a essa proporção sem fazer contas.
Para outros totais, a calculadora de divisão proporcional faz esse cálculo com pesos escritos como frações. O guia de divisão com frações explica como montar o problema.
Quando o enigma funciona
O truque exige que as frações somem n/(n + 1), com n camelos e um emprestado. Além disso, cada denominador deve dividir n + 1, para que as partes saiam inteiras.
| Camelos | Frações | Com um emprestado | Partilha |
|---|---|---|---|
| 7 | metade, 1/4, 1/8 | 8 | 4, 2, 1 |
| 11 | metade, 1/4, 1/6 | 12 | 6, 3, 2 |
| 19 | metade, 1/4, 1/5 | 20 | 10, 5, 4 |
| 23 | metade, 1/3, 1/8 | 24 | 12, 8, 3 |
Confira a linha de 11: 6/12 + 3/12 + 2/12 = 11/12, e 12 é múltiplo de 2, de 4 e de 6. Com 35 camelos e as frações do problema original, a partilha de 36 é 18 + 12 + 4 = 34 e sobram dois, então devolver um camelo já não fecha a conta.
Se as frações somassem exatamente 1, como 1/2 + 1/3 + 1/6, não sobraria nada e não haveria empréstimo a devolver.
De onde vem
Na tradição xiita, o relato é atribuído ao imã Ali, e o historiador Pierre Ageron estudou como essa atribuição circulou e como a história chegou à Europa. O artigo dele trata da história do conto. A aritmética da partilha é a de cima, seja quem for que a conte.
Fontes
- Pierre Ageron, “Le partage des dix-sept chameaux et autres exploits arithmétiques attribués à l’imâm ʿAlî”, Revue d’histoire des mathématiques 19(1), 2013, p. 1-41 (em francês). A página da Société mathématique de France traz o resumo: doi.org/10.24033/rhm.169 (consultado em 17 de outubro de 2026).
- Wikipédia em português, artigo Fração, seção “Adição e Subtração de Frações”, sobre o denominador comum e o mínimo múltiplo comum (consultado em 17 de outubro de 2026).