Una ripartizione proporzionale divide un totale in parti che mantengono lo stesso rapporto di certi pesi. Se 120 si divide tra due gruppi con pesi 3 e 5, uno riceve 45 e l’altro 75. Il metodo ha tre passi: sommare i pesi, calcolare ogni quota come totale × peso ÷ somma e controllare che le quote sommino al totale.
I pesi sono relativi e non devono sommare né a 1 né a 100. Quando si ripartiscono oggetti interi o i pesi sono frazioni nascono due scelte, che questa guida spiega con casi svolti. Per calcolare direttamente, usa il calcolatore di ripartizione proporzionale.
| Situazione | Come si risolve | Esempio |
|---|---|---|
| Pesi interi, totale divisibile | Totale × peso ÷ somma dei pesi | 120 nel rapporto 3:5 dà 45 e 75 |
| Pesi frazionari | Somma le frazioni e dividi ogni peso per la somma | 60 con 1/4 e 1/6 dà 36 e 24 |
| Oggetti indivisibili | Parte intera di ogni quota e unità avanzata al resto maggiore | 11 oggetti nel rapporto 3:2 danno 7 e 4 |
| Più peso, meno parte | Usa i reciproci come pesi | 70 inverso a 2 e 5 dà 50 e 20 |
La tabella segue la guida nell’ordine: ogni riga aggiunge una difficoltà al caso base della prima.
I controlli sono due e servono entrambi. Dare 60 a ciascun gruppo somma comunque 120, ma il rapporto sarebbe 1:1. Dare 3 e 5 mantiene il rapporto, ma lascia 112 da ripartire.
Pesi che sono frazioni
Non serve trasformare i pesi in numeri interi né in percentuali. Si sommano come frazioni e ogni peso si divide per quella somma. Per ripartire 60 con pesi 1/4 e 1/6, il denominatore comune è 12, con 1/4 = 3/12 e 1/6 = 2/12, che sommano 5/12.
La frazione del totale del primo gruppo è (3/12) ÷ (5/12) = 3/5 e quella del secondo è 2/5. Le quote sono 60 × 3/5 = 36 e 60 × 2/5 = 24, e 36 + 24 = 60. Moltiplicando entrambi i pesi per 12 si ottiene il rapporto intero 3:2, che porta alla stessa ripartizione.
Se le quote non vengono intere, conviene lasciarle in forma di frazione fino alla fine. Il valore 100/3, per esempio, si scrive 33,3̅ e non 33,33; l’arrotondamento si applica una volta sola, al risultato.
Esempio svolto: 120 nel rapporto 3:5
Due gruppi ricevono 120 nel rapporto 3:5. Quanto spetta a ciascuno?
- Somma i pesi. 3 + 5 = 8.
- Trasforma ogni peso in frazione del totale. Il primo gruppo riceve 3/8 e il secondo 5/8.
- Moltiplica per il totale. 120 × 3/8 = 45 e 120 × 5/8 = 75.
Il risultato è 45 e 75.
Verifica. 45 + 75 = 120. Inoltre 45/3 = 15 e 75/5 = 15, quindi ogni unità di peso vale lo stesso nei due gruppi.
Oggetti che non si possono dividere
Con 11 oggetti e pesi 3:2, la somma è 5 e le quote sono 33/5 = 6,6 e 22/5 = 4,4. Nessuna è intera. Il metodo dei resti maggiori assegna prima la parte intera, 6 e 4, che usa 10 oggetti. L’oggetto che resta va al gruppo con il resto maggiore: 0,6 contro 0,4, quindi tocca al primo.
| Passaggio | Gruppo A (peso 3) | Gruppo B (peso 2) |
|---|---|---|
| Quota | 33/5 = 6,6 | 22/5 = 4,4 |
| Parte intera | 6 | 4 |
| Resto | 0,6 | 0,4 |
| Oggetto avanzato | 1 | 0 |
| Ripartizione finale | 7 | 4 |
Si usano tutti gli 11 oggetti, ma 7:4 somiglia soltanto a 3:2, perché nessuna ripartizione intera di 11 può essere esatta in quel rapporto. Arrotondare ogni quota da sola darebbe qui 7 e 4 per caso; con altri numeri la somma può risultare maggiore o minore del totale, ed è per questo che l’unità avanzata si assegna con una regola fissa. Se due resti pareggiano, la regola deve dire chi vince.
Riparto inverso
A volte riceve di più chi ha il peso minore, come in una ripartizione inversamente proporzionale alle età. Si risolve allo stesso modo, con i reciproci come pesi. Per ripartire 70 in modo inverso a 2 e 5, i pesi sono 1/2 e 1/5, che sommano 7/10.
Le frazioni del totale sono (1/2) ÷ (7/10) = 5/7 e (1/5) ÷ (7/10) = 2/7. Le quote sono 70 × 5/7 = 50 e 70 × 2/7 = 20. Chi ha peso 2 riceve più di chi ha peso 5, come richiesto, e 50 + 20 = 70.
Esercitati
- Ripartisci 90 nel rapporto 1:2:3.
- Ripartisci 50 con pesi 2/3 e 1/3.
- Ripartisci 8 oggetti nel rapporto 1:2 con i resti maggiori.
- Ripartisci 84 in modo inverso a 3 e 4.
Vedi le risposte
- 15, 30 e 45 (la somma dei pesi è 6 e ogni unità vale 15).
- 100/3 e 50/3, cioè 33,3̅ e 16,6̅; sommano 50.
- 3 e 5, perché le quote 8/3 e 16/3 hanno parti intere 2 e 5, e l’oggetto avanzato va al resto 2/3.
- 48 e 36, perché i pesi 1/3 e 1/4 sommano 7/12, le frazioni del totale sono 4/7 e 3/7, e 84 × 4/7 = 48.
Fonti e strumenti
La voce Proporzionalità (matematica) di Wikipedia in italiano tratta la proporzionalità diretta e inversa tra grandezze (consultata il 17 ottobre 2026); non descrive il metodo di ripartizione di un totale, che in questa pagina si verifica con i calcoli svolti. Per calcolare più gruppi, usa la ripartizione proporzionale. Il legame tra rapporto, proporzione e frazione è nella guida a rapporto, proporzione e frazione, e per una sola parte serve frazione di una quantità. L’indovinello dei 17 cammelli usa una ripartizione in cui le frazioni non sommano a uno. Per ridurre i pesi, vedi semplificare i rapporti.