Pour diviser un segment AB en parties égales, vous n’avez pas besoin de le mesurer : vous tracez une demi-droite auxiliaire, vous y marquez autant de pas égaux que de parties voulues, puis vous tracez des parallèles jusqu’à AB. Avec 7 cm en 3 parties, chaque partie mesure 7/3 cm, une valeur comprise entre les graduations 2,3 cm et 2,4 cm d’une règle millimétrée, et que la construction place sans lire la règle. Ces marques vous permettent ensuite de placer les points sur une droite graduée, là où le besoin se présente le plus souvent.
| Vous voulez | Divisez AB en | Vous gardez |
|---|---|---|
| Trois parties égales | n = 3 | Les points P1 et P2 |
| Une fraction a/b de AB | n = b | La marque numéro a |
| Les septièmes d’une unité | n = 7 | Les six points intérieurs |
La première ligne est résolue dans l’exemple ci-dessous et la deuxième dans la partie « Comment marquer 2/5 d’un segment ». La troisième sert à graduer cette droite en septièmes.
Pourquoi les parallèles fonctionnent
La demi-droite auxiliaire et le segment AB sont deux droites issues de A, et le faisceau de parallèles les coupe toutes les deux. Le théorème de Thalès dit que, dans ce cas, les segments correspondants sont proportionnels.
Les morceaux AM1, M1M2 et M2M3 sont égaux par construction, donc leurs longueurs sont dans le rapport 1 : 1 : 1. Les morceaux AP1, P1P2 et P2B suivent le même rapport et sont donc égaux. Le résultat ne dépend ni de l’angle de la demi-droite ni de l’ouverture du compas, seulement de l’égalité des marques entre elles.
Exemple : diviser un segment de 7 cm en 3 parties
Le segment AB mesure 7 cm et vous voulez trois parties égales sans aucune mesure décimale.
- Tracez la demi-droite. Elle part de A avec un angle compris entre 30° et 60° par rapport à AB et elle est assez longue pour trois marques.
- Marquez trois pas égaux. Avec la même ouverture de compas, marquez M1, M2 et M3 l’un après l’autre depuis A.
- Joignez M3 et B. Cette droite est le guide des parallèles.
- Tracez deux parallèles. L’une passe par M1 et l’autre par M2, toutes deux parallèles à M3B. Elles coupent AB en P1 et P2.
- Calculez la longueur. Chaque partie mesure 7 ÷ 3 = 7/3 cm.
Résultat : chaque partie mesure 7/3 cm, soit 2 1/3 cm ou ≈ 2,33 cm (erreur inférieure à 0,01 cm).
Vérification : 3 × 7/3 = 7, donc les trois parties recouvrent exactement le segment.
Comment marquer 2/5 d’un segment
Utilisez la même construction avec n = 5, c’est-à-dire cinq marques égales et la droite qui joint M5 à B. Ensuite, ne tracez que la parallèle qui passe par M2. Son intersection avec AB est le point P, aux deux cinquièmes à partir de A, et cela vaut pour n’importe quelle longueur de AB.
Le morceau PB est le reste, 3/5 de AB. Comme 2/5 + 3/5 = 5/5, les deux parties recouvrent le segment. Si vous avez dessiné les cinq marques et que la parallèle par M2 tombe plus près de B que de A, vous avez probablement compté depuis la mauvaise extrémité.
Quand la construction n’aide plus
Si vous n’avez besoin que d’une valeur approchée, mesurer à la règle et diviser est plus rapide. La construction ne vous dit pas non plus combien mesure chaque partie : elle en donne la position. Pour ce nombre, utilisez la fraction d’une quantité ; pour dessiner l’unité avec des barres ou des cercles, le guide pour représenter des fractions ; et pour les échelles, le guide sur les fractions et les échelles. N’oubliez pas que toutes les parties doivent provenir du même tout.
Sources
Wikipédia en français présente le théorème de Thalès sous la forme suivante : deux sécantes sont coupées en segments correspondants proportionnels par des droites parallèles. C’est ce qu’utilise cette construction (consulté le 17 octobre 2026).