Um eine Strecke AB in gleiche Teile zu teilen, musst du sie nicht ausmessen: Du zeichnest einen Hilfsstrahl, trägst darauf so viele gleiche Abschnitte ab, wie du Teile willst, und ziehst Parallelen bis zu AB. Bei 7 cm in 3 Teilen ist jeder Teil 7/3 cm lang, ein Wert zwischen den Strichen bei 2,3 cm und 2,4 cm eines Millimeterlineals, den die Konstruktion setzt, ohne das Lineal abzulesen. Mit diesen Marken kannst du die Punkte auf einem skalierten Zahlenstrahl eintragen, wo man sie meistens braucht.
| Du willst | Teile AB in | Du behältst |
|---|---|---|
| Drei gleiche Teile | n = 3 | Die Punkte P1 und P2 |
| Einen Bruch a/b von AB | n = b | Die Marke Nummer a |
| Die Siebtel einer Einheit | n = 7 | Die sechs inneren Punkte |
Die erste Zeile wird im Beispiel unten gelöst, die zweite im Abschnitt „So markierst du 2/5 einer Strecke“. Die dritte dient dazu, den Zahlenstrahl in Siebtel zu beschriften.
Warum die Parallelen funktionieren
Der Hilfsstrahl und die Strecke AB sind zwei Geraden, die von A ausgehen, und die Parallelenschar schneidet beide. Der Strahlensatz (im Englischen und Spanischen „Satz von Thales“ genannt, in Deutschland nicht zu verwechseln mit dem Satz des Thales über den Halbkreis) sagt, dass in diesem Fall die entsprechenden Abschnitte proportional sind.
Die Abschnitte AM1, M1M2 und M2M3 sind konstruktionsbedingt gleich, ihre Längen stehen also im Verhältnis 1 : 1 : 1. Die Abschnitte AP1, P1P2 und P2B haben dasselbe Verhältnis und sind deshalb gleich. Das Ergebnis hängt weder vom Winkel des Hilfsstrahls noch von der Zirkelöffnung ab, sondern nur davon, dass die Marken untereinander gleich sind.
Beispiel: eine Strecke von 7 cm in 3 Teile teilen
Die Strecke AB ist 7 cm lang, und du willst drei gleiche Teile, ohne eine Dezimalzahl zu messen.
- Zeichne den Hilfsstrahl. Er geht von A in einem Winkel von 30° bis 60° zu AB aus und ist lang genug für drei Marken.
- Trage drei gleiche Abschnitte ab. Markiere mit derselben Zirkelöffnung nacheinander M1, M2 und M3, von A aus.
- Verbinde M3 mit B. Diese Gerade ist die Führung für die Parallelen.
- Ziehe zwei Parallelen. Eine geht durch M1, die andere durch M2, beide parallel zu M3B. Sie schneiden AB in P1 und P2.
- Berechne die Länge. Jeder Teil ist 7 ÷ 3 = 7/3 cm lang.
Ergebnis: Jeder Teil ist 7/3 cm lang, also 2 1/3 cm oder ≈ 2,33 cm (Fehler kleiner als 0,01 cm).
Probe: 3 × 7/3 = 7, die drei Teile ergeben also zusammen die Strecke.
So markierst du 2/5 einer Strecke
Nimm dieselbe Konstruktion mit n = 5, also fünf gleiche Marken und die Gerade durch M5 und B. Ziehe danach nur die Parallele durch M2. Der Schnittpunkt mit AB ist der Punkt P, der von A zwei Fünftel von AB entfernt liegt, und das gilt für jede Länge von AB.
Der Abschnitt PB ist der Rest, 3/5 von AB. Weil 2/5 + 3/5 = 5/5 ist, ergeben beide Teile zusammen die Strecke. Wenn du die fünf Marken gezeichnet hast und die Parallele durch M2 näher an B als an A liegt, hast du wahrscheinlich vom falschen Ende aus gezählt.
Wo die Konstruktion nicht weiterhilft
Brauchst du nur einen ungefähren Wert, geht Messen und Teilen mit dem Lineal schneller. Außerdem sagt dir die Konstruktion nicht, wie lang jeder Teil ist: Sie liefert seine Lage. Für diese Zahl nutze den Bruchteil einer Menge; um die Einheit mit Balken oder Kreisen zu zeichnen, den Ratgeber zum Zeichnen von Brüchen; und für Maßstäbe den Ratgeber zu Brüchen und Kartenmaßstab. Denk daran, dass alle Teile vom gleichen Ganzen stammen müssen.
Quellen
Die deutschsprachige Wikipedia beschreibt den ersten Strahlensatz sinngemäß so: Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, stehen die Streckenverhältnisse auf beiden Strahlen im gleichen Verhältnis. Genau das nutzt diese Konstruktion.