Uma fração é uma divisão, e dividir por zero não tem resultado. Por isso 3/0 não vale nada: nenhum número multiplicado por 0 dá 3. Com o zero em cima tudo muda, pois 0/5 vale 0, e 0/0 não se pode decidir. Para dividir frações, a calculadora de divisão de frações para diante de um divisor igual a zero, e, para expressões com x, o guia de frações algébricas e domínio mostra como achar os valores proibidos.
O que acontece em cada caso com zero
Dividir a por b é procurar o número q que cumpre b × q = a. Essa conferência decide os três casos com zero. Se não lembra qual é qual, revise antes o numerador e o denominador.
| Expressão | Equação para q | Conclusão |
|---|---|---|
| 8/0 | 0 × q = 8 | Nenhum q a cumpre: sem valor |
| 0/0 | 0 × q = 0 | Todos os q a cumprem: indeterminado |
| 0/5 | 5 × q = 0 | Só q = 0: vale 0 |
Com 8/0 seria preciso um q tal que 0 × q = 8, mas zero vezes qualquer número dá 0. O resultado não pode ser 8, e também não existe outro que sirva. Com zero em cima e em baixo acontece o contrário: q = −2, q = 0 e q = 5 servem igualmente, e sem um valor único não há quociente a escolher. Com 0/5 a equação só se cumpre com q = 0. Por isso “zero dividido por algo dá zero” vale apenas se esse algo não é zero.
Exemplo resolvido: 4/5 por zero e zero por 4/5
Os dois cálculos usam os mesmos números, mas só um deles tem resultado.
- Escreva a divisão como multiplicação. Dizer que 0 ÷ 4/5 vale q é dizer que q multiplicado por essa fração dá 0.
- Resolva. Um produto é zero só se algum fator é zero, e a fração não é, então q = 0.
- Repita com o zero como divisor. Dizer que a fração dividida por 0 vale q é dizer que 0 × q é essa fração, e nenhum número cumpre isso.
- Veja pelo inverso. Dividir por 4/5 é multiplicar por 5/4, e 0 × 5/4 = 0. Dividir por 0 exigiria multiplicar por 1/0, a fração proibida.
Resultado. 0 ÷ 4/5 = 0, e 4/5 ÷ 0 não tem valor.
Conferência. Multiplicar a fração por 0 dá 0, o que confirma o primeiro. Para o segundo não existe conferência, e esse é o sinal de que não há resultado.
Um divisor que parece uma fração comum também pode ser zero. Em 3/4 ÷ 0/5, o divisor 0/5 vale 0, então o cálculo falha do mesmo jeito. Para ver por que o zero não tem inverso, consulte o inverso de uma fração.
Simplificar sem perder o valor proibido
Em (x² − 1)/(x − 1), fatore o numerador como (x − 1)(x + 1) e corte x − 1. Sobra x + 1, mas só para x ≠ 1, porque com x = 1 a fração original fica em zero por zero. Com x = 3 as duas formas coincidem, já que 8/2 = 4 e 3 + 1 = 4. Com x = 1 a original não existe, enquanto x + 1 daria 2. Por isso o gráfico é a reta y = x + 1 com um buraco no ponto (1, 2). Anote a restrição antes de cortar, igualando a zero o denominador original.
Para trabalhar com essas restrições há ferramentas específicas. A de simplificar frações algébricas mantém as exclusões junto ao resultado, e a de equações com frações descarta as soluções que zeram um denominador.
Um divisor pequeno não é um divisor zero
Ao dividir por números cada vez menores, os resultados crescem: 1 ÷ 1/10 = 10 e 1 ÷ 1/100 = 100. Daí vem a ideia de que 1/0 é infinito. Mas com divisores negativos ocorre o contrário, porque 1 ÷ (−1/100) = −100 e os quocientes descem sem limite. Como o comportamento depende do lado por onde se chega ao zero, nenhum valor único serve. O infinito descreve para onde tende uma expressão em um limite. A divisão em si não o dá como resultado, e 1/0 continua sem definição.
Pratique
- Quanto vale 6/0?
- Quanto vale 0/(−6)?
- Quanto é 2/3 ÷ 0?
- Simplifique (x² − 9)/(x − 3) e escreva a restrição.
Ver as respostas
- Não tem valor, porque nenhum q cumpre 0 × q = 6.
- Vale 0, porque (−6) × 0 = 0.
- Não tem valor, porque o divisor é zero.
- x + 3, com x ≠ 3.