La formula delle resistenze in parallelo dice che il reciproco della resistenza totale è la somma dei reciproci di ogni resistenza: 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … Con 6 Ω e 3 Ω, 1/6 + 1/3 = 1/2, quindi il totale è 2 Ω. Questa somma di reciproci è una somma di frazioni; lo strumento somma di frazioni la calcola con risultato esatto.
L’essenziale
- In parallelo, il reciproco della resistenza totale è la somma dei reciproci di ogni resistenza: 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Con 6 Ω e 3 Ω: 1/6 + 1/3 = 1/2, e 1 diviso per 1/2 dà 2 Ω.
- Per due resistenze c’è una scorciatoia: R = (R₁ · R₂)/(R₁ + R₂), il prodotto sulla somma. Con 6 e 3: 6 · 3/(6 + 3) = 18/9 = 2 Ω.
- Con tre resistenze, 4 Ω, 6 Ω e 12 Ω: 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1/2, e il totale è di nuovo 2 Ω.
- Con n resistenze uguali di valore R, il risultato è R/n.
- Con due o più resistenze positive in parallelo, il risultato è minore della resistenza più piccola del gruppo.
Qual è la formula delle resistenze in parallelo?
La formula delle resistenze in parallelo è 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … + 1/Rₙ. Il simbolo R indica la resistenza totale e ogni Rᵢ è una delle resistenze collegate tra gli stessi due punti. L’uguaglianza si legge così: il reciproco del totale è uguale alla somma dei reciproci delle singole resistenze.
Il reciproco, o inverso moltiplicativo, di un numero diverso da zero è 1 diviso per quel numero. Il reciproco di 6 è 1/6 e quello di 3 è 1/3. Due numeri sono reciproci quando il loro prodotto vale 1: 6 · 1/6 = 1 e 3 · 1/3 = 1. È per questo che compaiono frazioni unitarie, con numeratore 1, quando si scrive la formula.
La formula non vale per qualsiasi raggruppamento: descrive resistenze disposte in modo che tutte condividano i due estremi. Ciò che si somma è il reciproco di ogni valore, non il valore. Sommare direttamente 6 + 3 darebbe 9, il risultato del collegamento in serie e non di quello in parallelo.
Un esempio passo passo: 6 Ω e 3 Ω in parallelo
La procedura ha tre passaggi:
- Scrivi il reciproco di ogni resistenza: 1/6 e 1/3.
- Somma le frazioni su un denominatore comune: 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2.
- Prendi il reciproco del risultato per ottenere la resistenza totale: 1 diviso per 1/2 dà 2 Ω.
Per calcolare 6 Ω in parallelo con 3 Ω si scrive 1/R = 1/6 + 1/3 e si sommano le due frazioni. Il minimo comune denominatore di 6 e 3 è 6, quindi 1/3 diventa 2/6:
1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2
Quindi 1/R = 1/2. Per ricavare R si prende il reciproco di 1/2, che è 2. Il risultato esatto è R = 2 Ω.
Vale la pena verificare il risultato con il prodotto: 2 · (1/6 + 1/3) = 2 · 1/2 = 1. Questa uguaglianza conferma che 2 è il reciproco corretto della somma. Lo strumento minimo comune denominatore aiuta a trovare 6 come denominatore comune quando i valori non sono così semplici.
Prova tu. Calcola la resistenza di 12 Ω in parallelo con 4 Ω. Risposta: 1/12 + 1/4 = 1/12 + 3/12 = 4/12 = 1/3, e il reciproco di 1/3 è 3 Ω. Si nota che 3 Ω è minore di 4 Ω, la più piccola delle due.
La formula prodotto sulla somma
Per due resistenze, R = (R₁ · R₂)/(R₁ + R₂). Questa espressione, detta prodotto sulla somma, evita di scrivere i reciproci e dà lo stesso valore. Con 6 Ω e 3 Ω: 6 · 3/(6 + 3) = 18/9 = 2 Ω.
La scorciatoia deriva dalla formula generale. Partendo da 1/R = 1/R₁ + 1/R₂, si sommano le frazioni con denominatore comune R₁ · R₂:
1/R = (R₂ + R₁)/(R₁ · R₂)
Prendendo il reciproco di entrambi i membri, R = (R₁ · R₂)/(R₁ + R₂). Per questo il numeratore è il prodotto dei due valori e il denominatore è la loro somma.
La scorciatoia vale per due resistenze. Con tre o più, si può applicare a coppie: prima due valori e poi il risultato con il successivo. Si può anche tornare alla somma dei reciproci. Un errore di applicazione frequente è mettere i tre valori insieme nell’espressione per due e ignorare il terzo.
Prova tu. Con 10 Ω e 15 Ω, il prodotto sulla somma coincide con la somma dei reciproci? Risposta: 10 · 15/(10 + 15) = 150/25 = 6 Ω, e 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6, il cui reciproco è 6 Ω. Coincidono.
Perché il risultato è minore del più piccolo?
Con due o più resistenze positive in parallelo, la resistenza totale è minore della più piccola del gruppo. Con 6 Ω e 3 Ω il risultato è 2 Ω, minore di 3 Ω. La ragione è che il reciproco della resistenza più piccola è il maggiore di tutti i reciproci: la somma dei reciproci supera ciascuno di essi e il suo reciproco scende sotto il valore più piccolo di partenza.
Un modo di vederlo senza simboli: aggiungere un percorso in più per la corrente non può aumentare l’opposizione totale. Ogni nuova resistenza aggiunge un termine positivo alla somma dei reciproci, quindi la somma cresce e il suo reciproco diminuisce. Più valori si aggiungono, più piccolo è il totale, ma non arriva mai a zero finché ogni resistenza è un numero positivo e finito.
La conseguenza pratica è una verifica immediata: se un calcolo in parallelo dà un risultato maggiore della resistenza più piccola, c’è un errore. Con 4 Ω e 12 Ω il totale deve essere minore di 4 Ω; il valore 3 Ω lo rispetta.
Tre resistenze: 4 Ω, 6 Ω e 12 Ω
Per tre resistenze si sommano tre reciproci. Con 4 Ω, 6 Ω e 12 Ω, il minimo comune denominatore è 12:
1/4 + 1/6 + 1/12 = 3/12 + 2/12 + 1/12 = 6/12 = 1/2
Quindi 1/R = 1/2 e R = 2 Ω. Il risultato coincide con l’esempio a due resistenze, perché in entrambi i casi la somma dei reciproci vale 1/2. Questo dettaglio mostra che il valore finale dipende dalla somma, non dal numero di resistenze.
1/4 + 1/6 + 1/12 = 3/12 + 2/12 + 1/12 = 6/12 = 1/2 → R = 2 Ω
Con tre valori la scorciatoia prodotto sulla somma non si può usare in un colpo solo, perché combina soltanto due resistenze. Applicata a 4 e 6 dà 24/10 = 2,4 Ω, il risultato corretto di quella coppia; per il totale si combina quel 2,4 Ω con il terzo valore. Con il simbolo «∥», che si legge «in parallelo con», si scrive (4 ∥ 6) = 2,4 Ω e (2,4 ∥ 12) = 2 Ω. Ciò che falla è ignorare la terza resistenza, non la scorciatoia in sé.
Prova tu. Calcola tre resistenze uguali da 10 Ω. Risposta: 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10, e il reciproco di 3/10 è 10/3 Ω, circa 3,33 Ω, minore di 10 Ω.
n resistenze uguali: dividere per n
Con n resistenze uguali di valore R, la resistenza totale è R/n. Se ci sono n termini identici di valore 1/R, la somma è n · (1/R) = n/R, e il suo reciproco è R/n. Con due resistenze da 6 Ω: 6/2 = 3 Ω. Con cinque da 10 Ω: 10/5 = 2 Ω. Con tre da 6 Ω: 6/3 = 2 Ω.
Questa regola è il caso più rapido della formula generale e anche il più facile da ricordare: n resistenze uguali in parallelo dividono il loro valore per n. Spiega anche perché il totale scende quando si aggiungono rami uguali: ogni ramo in più aumenta n e riduce il quoziente.
| Numero di resistenze uguali | Valore di ciascuna | Operazione | Totale esatto |
|---|---|---|---|
| 2 | 6 Ω | 6/2 | 3 Ω |
| 3 | 6 Ω | 6/3 | 2 Ω |
| 4 | 12 Ω | 12/4 | 3 Ω |
| 5 | 10 Ω | 10/5 | 2 Ω |
| 6 | 3 Ω | 3/6 | 1/2 Ω |
La tabella serve anche a controllare il senso della formula: in ogni riga il totale è minore del valore di una singola resistenza, e due resistenze uguali danno esattamente metà del valore di una sola, come due resistenze da 6 Ω che danno 3 Ω.
Perché in parallelo le resistenze non si sommano?
In parallelo le resistenze non si sommano perché ogni nuovo valore aggiunge un percorso e non un’opposizione maggiore. Sommare 6 + 3 darebbe 9, il valore di un collegamento in serie. In parallelo, invece, il totale è 2. La formula ripartisce il valore tra i percorsi tramite i reciproci, quindi più percorsi significano meno resistenza.
C’è una lettura con le frazioni che chiarisce la ripartizione. Il reciproco 1/R misura quanta conduttanza apporta ogni resistenza, cioè quanta facilità di passaggio aggiunge. Sommare conduttanze equivale a sommare frazioni unitarie. Il reciproco di quella somma recupera la resistenza totale. Per questo il risultato esatto si ottiene prima come frazione e solo alla fine si converte in ohm.
Lo strumento divisione di frazioni è utile nell’ultimo passaggio, quando bisogna calcolare il reciproco di una somma come 3/10: dividere 1 per 3/10 equivale a moltiplicare per 10/3.
Serie o parallelo: tabella comparativa
Serie e parallelo seguono regole opposte. In serie le resistenze si sommano; in parallelo si sommano i loro reciproci. La tabella raccoglie la stessa coppia, 6 Ω e 3 Ω, per ogni collegamento.
| Collegamento | Regola | Con 6 Ω e 3 Ω | Risultato | Confronto con i valori originali |
|---|---|---|---|---|
| Serie | R = R₁ + R₂ | 6 + 3 | 9 Ω | Maggiore di ciascuna delle due |
| Parallelo | 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ | 1/6 + 1/3 = 1/2 | 2 Ω | Minore della resistenza più piccola |
Serie: 6 + 3 = 9 Ω; parallelo: 1/6 + 1/3 = 1/2 → 2 Ω
La tabella aiuta a scegliere l’operazione prima di calcolare: se il problema chiede un raggruppamento in serie, si sommano i valori; se chiede uno in parallelo, si sommano i reciproci. Confondere le due regole produce, con 6 e 3, un 9 Ω dove serviva 2 Ω.
Prova tu. Se il risultato di un raggruppamento di 2 Ω e 2 Ω è 4 Ω, è serie o parallelo? Risposta: è serie, perché 2 + 2 = 4. In parallelo la stessa coppia darebbe 1 Ω, dato che 1/2 + 1/2 = 1 e il suo reciproco è 1.
La stessa somma di reciproci in altri contesti
La somma di reciproci non è esclusiva delle resistenze. Nei problemi di rubinetti e lavoro in comune, ogni rubinetto è descritto dalla sua portata, che è il reciproco del tempo: un rubinetto che riempie in 3 h apporta 1/3 all’ora e uno che riempie in 6 h apporta 1/6 all’ora. La portata combinata è 1/3 + 1/6 = 1/2 all’ora, e il tempo è il reciproco, 2 h. La struttura è la stessa: si sommano i reciproci e si inverte il totale.
In ottica, la potenza di una lente sottile è il reciproco della sua distanza focale. Quando due lenti sottili sono a contatto, le loro potenze si sommano: 1/f = 1/f₁ + 1/f₂. È la stessa forma della formula delle resistenze in parallelo, con la distanza focale al posto della resistenza.
Lo schema comune ai tre casi è un totale ottenuto sommando i reciproci e prendendo poi il reciproco. Riconoscerlo rende riutilizzabile la procedura: trovare il denominatore comune, sommare le frazioni e capovolgere il risultato.
Come verificare che il risultato sia corretto
Il risultato di un parallelo si verifica moltiplicando la resistenza totale per la somma dei reciproci: il prodotto deve valere 1. Con 6 Ω e 3 Ω, 2 · (1/6 + 1/3) = 2 · 1/2 = 1, corretto. Con 4, 6 e 12 Ω, 2 · (1/4 + 1/6 + 1/12) = 2 · 1/2 = 1, corretto anche qui.
Una seconda verifica riguarda l’ordine di grandezza: il totale deve essere minore della resistenza più piccola. Se calcolando 12 Ω con 4 Ω compare un valore maggiore di 4 Ω, c’è un errore. La verifica con frazioni esatte evita gli arrotondamenti, un’altra fonte di errori quando i valori non sono interi.
Per rivedere il calcolo conviene ripetere la somma dei reciproci a parte. La guida su come verificare un risultato con le frazioni propone di confrontare per un’altra via: qui, usare il prodotto sulla somma e metterlo a confronto con la somma dei reciproci.
Limiti della formula
La formula 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … descrive resistenze raggruppate tra gli stessi due punti. Non copre altri raggruppamenti, valori negativi né resistenze che variano nel tempo.
La scorciatoia prodotto sulla somma vale per due resistenze e si può applicare a coppie quando ce ne sono tre o più. Conserva il risultato esatto di ogni passaggio. Infine, i valori non interi richiedono di lavorare con frazioni esatte prima di arrotondare: conservare il risultato esatto e approssimare solo nell’ultimo passaggio.
Domande frequenti
Quanto vale la resistenza in parallelo di due resistenze uguali?
Due resistenze uguali di valore R in parallelo danno R/2, la metà del loro valore. Con due da 6 Ω il totale è 3 Ω, perché 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 e il suo reciproco è 3. È il caso più semplice della regola generale R/n per n resistenze uguali.
Si può usare il prodotto sulla somma con tre resistenze?
Si può usare a coppie, non in un colpo solo con tutti e tre i valori. Il prodotto sulla somma, (R₁ · R₂)/(R₁ + R₂), combina due resistenze; con tre si applica per passi, per esempio (4 ∥ 6) = 2,4 Ω e poi (2,4 ∥ 12) = 2 Ω, oppure si sommano i tre reciproci e si prende il reciproco. Mettere i tre valori insieme nell’espressione per due, ignorando i 12 Ω, darebbe 2,4 Ω invece del valore corretto, 2 Ω.
Perché il risultato è minore della più piccola?
Perché, con due o più resistenze positive, il reciproco della resistenza più piccola è il maggiore dei reciproci. Sommato agli altri, fa superare a ciascuno la somma dei reciproci, e il reciproco della somma scende sotto il valore più piccolo di partenza. Ogni ramo nuovo aggiunge solo facilità di passaggio.
Cosa succede se c’è una sola resistenza nel gruppo?
Con una sola resistenza la somma dei reciproci ha un solo termine, 1/R₁, e il suo reciproco restituisce R₁. La formula non cambia il valore quando in parallelo non c’è nulla da sommare. L’interesse della formula appare a partire da due resistenze.
Come si calcola il reciproco della somma dei reciproci?
Prima si sommano le frazioni fino a un unico risultato, per esempio 1/2 o 3/10. Poi si prende il reciproco, che è 2 nel primo caso e 10/3 nel secondo. Dividere 1 per una frazione equivale a moltiplicare per il suo inverso, come spiega la guida sul reciproco di una frazione.
In sintesi
La formula delle resistenze in parallelo è 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …, una somma di reciproci che si risolve come qualsiasi somma di frazioni. Con 6 Ω e 3 Ω, 1/6 + 1/3 = 1/2 e il totale è 2 Ω; la scorciatoia (R₁ · R₂)/(R₁ + R₂) dà lo stesso valore per due resistenze, e con n resistenze uguali il risultato è R/n. Con due o più resistenze positive in parallelo, il totale è sempre minore della più piccola, e la stessa struttura compare nei problemi di rubinetti e nelle lenti sottili a contatto. Per esercitarsi sulla somma dei reciproci con valori esatti, la calcolatrice di frazioni e l’insieme delle applicazioni delle frazioni raccolgono gli strumenti e gli esempi correlati.