Die Punktzahl einer Klassenarbeit auf einer anderen Skala ist der Bruch der erreichten Punkte, übertragen auf die Skala, die du brauchst: Punkte ÷ Maximum × Skala. Mit 22 von 25 Punkten auf einer Skala von 10 ergibt das 8,8 Punkte. (Die deutsche Note 1 bis 6 folgt erst über den Notenschlüssel, siehe unten.) Das gilt, solange jeder Punkt gleich zählt; haben die Teile unterschiedliches Gewicht, musst du gewichten, und gibt es Abzug für falsche Antworten, ziehst du ihn vor dem Teilen ab.
Dieselbe Rechnung ist ein Dreisatz, und der Rechner für den Bruchteil zweier Mengen ermittelt Punkte/Maximum aus den beiden Mengen. Sind 40 Punkte die volle Skala, sind 27 Punkte ein Teil davon. Zwischen zwei Schulen unterscheidet sich nur die Zahl, mit der du multiplizierst.
Rechenbeispiel: 27 Punkte von 40, auf einer Skala von 10
Eine Klassenarbeit hat insgesamt 40 Punkte, und du hast 27 erreicht. Welche Punktzahl hast du auf einer Skala von 10?
- Notiere das tatsächliche Maximum. Es ist die Summe dessen, was jede Aufgabe zählt, nicht die Zahl der Aufgaben; hier sind es 40.
- Schreibe den Bruch. Punkte oben, Maximum unten: 27/40.
- Multipliziere mit der Skala. 27/40 × 10 = 270/40.
- Kürze. 270/40 = 27/4 = 6,75.
Ergebnis: 6,75 von 10.
Probe. 6,75 × 40 ÷ 10 ergibt wieder die 27 Punkte, und 6,75 liegt zwischen 5 und 10, weil 27 mehr als die Hälfte von 40 ist.
6,75 ist eine abbrechende Dezimalzahl, weil der Nenner von 27/4 nur den Primfaktor 2 hat. Das ist nicht immer so: 17 Punkte von 30 ergeben 17/3 von 10, also 5,6̅; der gerundete Wert 5,67 liegt um 1/300 zu hoch.
So rechnest du die Punktzahl auf eine andere Skala oder in Prozent um
Der Bruch bleibt auf jeder Skala derselbe; nur der Faktor ändert sich. Auf einer Skala von 20 ergibt die Arbeit von oben 27/40 × 20 = 27/2 = 13,5. Auf einer Skala von 100 sind es 67,5, und das sind zugleich 67,5 % des Ganzen. Die Umrechnung Bruch in Prozent erledigt diesen letzten Schritt, und der Ratgeber zu Verhältnis, Proportion und Bruch erklärt, warum das Multiplizieren richtig ist: doppelt so viele Punkte ergeben eine doppelt so hohe Punktzahl auf der Skala.
| Punkte / Maximum | Von 10 | Von 20 | Von 100 |
|---|---|---|---|
| 33 / 50 | 6,6 | 13,2 | 66 |
| 18,5 / 25 | 7,4 | 14,8 | 74 |
| 45 / 60 | 7,5 | 15 | 75 |
| 17 / 30 | 5,6̅ | 11,3̅ | 56,6̅ |
Von der Skala 10 auf die 20 kommst du durch Multiplizieren mit 2, auf die 100 mit 10, wie jede Zeile zeigt. In der letzten Zeile sind die Dezimalzahlen periodisch: 17/3 = 5,6̅, 34/3 = 11,3̅ und 170/3 = 56,6̅; daher liegen die gerundeten Werte 5,67 und 56,67 um 1/300 zu hoch und 11,33 um 1/300 zu niedrig. Hat das Maximum Dezimalstellen, wie 18,5, schreibst du es als 37/2 und rechnest mit Brüchen: 37/2 ÷ 25 × 10 = 37/5 = 7,4. Die Tabelle für Brüche, Dezimalzahlen und Prozent sammelt Entsprechungen für weitere Brüche.
So berechnest du das gewichtete Mittel, wenn die Teile unterschiedlich zählen
Multipliziere jede Bewertung mit ihrem als Bruch geschriebenen Gewicht und addiere die Ergebnisse. Zählt die Klassenarbeit 60 % (3/5), die Hausaufgaben 30 % (3/10) und die Mitarbeit 10 % (1/10), ergeben die Gewichte zusammen 1. Mit den Bewertungen 6, 8 und 9 (jeweils von 10 Punkten) ist das gewichtete Mittel 6 × 3/5 + 8 × 3/10 + 9 × 1/10 = 18/5 + 12/5 + 9/10 = 69/10 = 6,9 Punkte.
| Teil | Gewicht | Punktzahl | Beitrag |
|---|---|---|---|
| Klassenarbeit | 3/5 | 6 | 18/5 = 3,6 |
| Hausaufgaben | 3/10 | 8 | 12/5 = 2,4 |
| Mitarbeit | 1/10 | 9 | 9/10 = 0,9 |
Die drei Beiträge ergeben 6,9 Punkte, und diese Summe vergleichst du mit der Mindestpunktzahl zum Bestehen. Zum fehlerfreien Addieren der Brüche hilft der Rechner zum Addieren von Brüchen; der Mittelwert von Brüchen dagegen berechnet ein Mittel, in dem alle Werte gleich viel zählen, und passt hier deshalb nicht. Wird eine Menge in proportionale Teile aufgeteilt, nimm die proportionale Aufteilung.
Wird ein Teil mit einem eigenen Maximum bewertet, wandle ihn zuerst in einen Bruch um. Eine Arbeit mit 15 von 20 Punkten ist 15/20 = 3/4, und hat dieser Teil das Gewicht 1/3, trägt er 3/4 × 1/3 = 1/4 zur Punktzahl bei.
Welche Punktzahl du im Rest noch brauchst
Löse nach dem offenen Teil auf: nötige Punktzahl = (Ziel − bereits erreichter Beitrag) ÷ Gewicht des Rests. Stell dir vor, die Klassenarbeit, die sechs Zehntel zählt, ist eine 6 geworden und du willst am Ende 7 Punkte. Der bisherige Beitrag ist 18/5, und es bleibt das Gewicht 2/5. Dann ist (7 − 18/5) ÷ 2/5 = 17/5 × 5/2 = 17/2 = 8,5.
Du brauchst also im Durchschnitt 8,5 Punkte in den übrigen Teilen. Liegt das Ergebnis über der Skala (mehr als 10 von 10), ist dieses Ziel mit den verbleibenden Teilen nicht zu erreichen. Der Rechner zum Runden auf den nächsten Bruch hilft, wenn die Punktzahl auf ein bestimmtes Vielfaches fallen soll, zum Beispiel auf einen halben Punkt.
Wenn Fehler Punkte kosten
Bei einer Multiple-Choice-Klausur mit Abzug bringt jede richtige Antwort 1, jede falsche zieht 1/3 ab, und leere Antworten zählen nicht. Die Nettopunktzahl ist richtige − falsche/3, danach gilt die gewohnte Formel. Mit 30 richtigen, 6 falschen und 4 leeren Antworten bei 40 Fragen lautet die Rechnung (30 − 6/3)/40 × 10 = 28/40 × 10 = 7.
Bei vier Antwortmöglichkeiten pro Frage lohnt sich Raten durch den Abzug von 1/3 nicht: Der Erwartungswert einer zufälligen Antwort ist 1/4 × 1 − 3/4 × 1/3 = 0. Bei fünf Möglichkeiten müsste ein Fehler 1/4 abziehen, damit Raten weiterhin nichts bringt. Den Wert 1/3 legt jede Klausur selbst fest, also lies die Hinweise, bevor du die Formel anwendest.
Noten von 1 bis 6 und Punkte in der Oberstufe
Nicht jede Skala beginnt bei 0 oder wächst mit den Punkten. In Deutschland ist das Sechsersystem üblich: 1 heißt sehr gut, 2 gut, 3 befriedigend, 4 ausreichend, 5 mangelhaft und 6 ungenügend. Die Note sinkt, wenn die Leistung steigt. Deshalb ist Punkte ÷ Maximum (der Anteil der erreichten Punkte) hier noch keine Note; erst der Notenschlüssel der Lehrkraft ordnet diesen Anteil einer Note zu.
In der Oberstufe zählen Punkte von 0 bis 15, und 15 Punkte entsprechen der Note 1+. Fünf Punkte entsprechen der Note 4; unter 5 Punkten gilt die Leistung als Defizit. Wie viel Prozent der Klausurpunkte für eine bestimmte Note nötig sind, legen Schule und Lehrkraft in ihrem Schlüssel fest. Als reines Rechenbeispiel, nicht als Schlüssel: Skalierst du den Anteil 27/40 linear auf 15 Punkte, ergibt das 27/40 × 15 = 81/8 = 10,125. Lies den Notenschlüssel deiner Schule, bevor du so umrechnest, denn Zuordnung und Rundung sind dort geregelt.
Wann du runden solltest
Runde nur ein einziges Mal, am Ende. Sind 17 von 30 Punkten in einer Klassenarbeit 17/3 von 10 und addierst du zwei gleiche Arbeiten, ist das genaue Ergebnis 17/3 + 17/3 = 34/3, auf eine Dezimalstelle 11,3. Rundest du aber vorher jede Arbeit auf 5,7, ergibt die Summe 11,4. Der Unterschied von einem Zehntel kommt vom frühen Runden, nicht von der Addition. Der Ratgeber zum Prüfen eines Bruchergebnisses zeigt, wie du solche Abweichungen entdeckst.
Übe
- Berechne die Punktzahl von 33 Punkten in einer Arbeit mit 50 Punkten auf einer Skala von 10 und rechne sie auf die Skala 20 um.
- Die Bewertungen 5, 8 und 9 (jeweils von 10 Punkten) haben die Gewichte 1/2, 1/4 und 1/4. Wie groß ist das gewichtete Mittel?
- Ein Test mit 30 Fragen, 24 richtigen, 3 falschen und 3 leeren Antworten, mit Abzug von einem Drittel. Welche Punktzahl ergibt sich auf einer Skala von 10?
Antworten anzeigen
- 33/50 × 10 = 33/5 = 6,6 von 10 und 13,2 von 20.
- 5/2 + 2 + 9/4 = 27/4 = 6,75.
- (24 − 1)/30 × 10 = 23/3 = 7,6̅, gerundet 7,67; das liegt um 1/300 zu hoch.
Willst du dieselbe Rechnung außerhalb des Klassenzimmers sehen, sammeln die Anwendungen Alltagsfälle wie Rezepte und Aufteilungen. Für Korrekturbögen mit Noten auf verschiedenen Skalen bietet das Lehrmaterial Unterlagen für den Unterricht. Und wird die Punktzahl in Prozent verlangt, erledigen die Prozentrechnung und die Proportionen den letzten Schritt.
Quellen
Für die Namen der Noten 1 bis 6 und die Punkte der Oberstufe dient ein Nachschlagewerk als Quelle. Welche Note ein Ergebnis ergibt, bestimmt der Notenschlüssel deiner Schule.
- Wikipedia, Schulnote: Die Noten 1 sehr gut, 2 gut, 3 befriedigend, 4 ausreichend, 5 mangelhaft, 6 ungenügend sowie die Punkte 0 bis 15 in der Oberstufe.