L’indovinello di Diofanto sulla sua età, il classico problema che chiede quanto visse, ha come risposta 84 anni: l’infanzia durò 14, aspettò 7 anni per la barba, altri 12 per sposarsi, ebbe il figlio 5 anni dopo, il figlio visse 42 anni e lui morì 4 anni dopo. Si risolve con un’equazione con frazioni e il minimo comune multiplo 84.
L’essenziale
- L’equazione è x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x, dove x è l’età al momento della morte.
- Il minimo comune multiplo di 6, 12, 7 e 2 è 84, il minimo comune denominatore.
- Moltiplicando per 84: 14x + 7x + 12x + 42x + 756 = 84x.
- Raggruppando: 75x + 756 = 84x, poi 9x = 756 e infine x = 84.
- Le sei tappe sommano 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84 anni.
- Verifica esatta: 84/6 = 14, 84/12 = 7, 84/7 = 12 e 84/2 = 42.
Cosa dice l’epitaffio di Diofanto, in parole semplici
L’epitaffio descrive la vita di Diofanto come una catena di frazioni di un unico numero: l’età che aveva alla morte. Prima l’infanzia occupa 1/6 di quella vita. Poi trascorre 1/12 in più finché non gli cresce la barba, e 1/7 in più fino al matrimonio. Cinque anni dopo nasce suo figlio. Il figlio vive la metà di quanto ha vissuto il padre, e il padre muore 4 anni dopo il figlio.
Il punto del testo è che ogni tappa si misura con la stessa incognita, x. Non sono sei numeri indipendenti, ma sei parti di una stessa quantità. È questo dettaglio che trasforma un racconto in un’equazione: se ogni tappa è una frazione di x e le tappe coprono l’intera vita, la loro somma deve dare esattamente x. Il minimo comune denominatore permette di sommarle senza cambiarne il valore.
Prima di scrivere simboli conviene fissare che cosa significa ogni frase:
x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x
Due tappe sono quantità fisse, 5 e 4 anni, e non dipendono da x. Le altre quattro sono frazioni di x. L’equazione è lineare in x: eliminati i denominatori diventa 75x + 756 = 84x, che ha una sola soluzione, x = 84.
Chi era Diofanto di Alessandria?
Diofanto di Alessandria era un matematico greco. L’indovinello è conservato nell’Antologia greca, una raccolta posteriore. Le sue date esatte sono incerte. Il testo è un enigma tradizionale e la sua accuratezza biografica è sconosciuta: si racconta come un problema, non come un documento storico.
Questa distinzione conta. Il valore di 84 anni è la soluzione matematica dell’enigma, non un fatto documentato su una persona. Ciononostante, il problema insegna qualcosa di reale: come tradurre un testo in un’equazione e come verificare il risultato tappa per tappa.
Come si imposta l’equazione dell’età di Diofanto
L’equazione si imposta sommando le sei tappe e uguagliando la somma alla vita intera. Se x è l’età alla morte, ogni frazione del racconto si scrive davanti a x e gli anni fissi si scrivono così come sono:
x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x
Il primo membro sono le sei tappe, il secondo la vita intera. L’uguaglianza afferma che le parti, insieme, ricostruiscono il tutto. Non serve aggiungere altro: l’enunciato dice già che la vita finisce 4 anni dopo la morte del figlio.
Perché ogni frazione moltiplica x?
Ogni frazione moltiplica x perché il racconto misura tempi rispetto alla vita intera, non anni sciolti. “L’infanzia durò un sesto della sua vita” significa (1/6)·x, non 6 anni. Se x cambiasse, l’infanzia cambierebbe con lei. È la differenza tra una frazione di una quantità e un numero fisso.
Riconoscerlo evita un errore frequente: leggere 1/6 come se fossero sei anni. Una lettura rapida dell’epitaffio spinge a scrivere 6 + 12 + 7 + 5 + 2 + 4, ma 6, 12, 7 e 2 non sono anni, bensì denominatori; solo il 5 e il 4 sono anni fissi.
Come si risolve un’equazione razionale come questa?
Si risolve eliminando i denominatori con il minimo comune multiplo e poi risolvendo l’equazione lineare che resta. La procedura è sempre la stessa:
- Scrivi l’equazione con tutte le frazioni, come sopra.
- Calcola il minimo comune multiplo dei denominatori 6, 12, 7 e 2: mcm(6, 12, 7, 2) = 84.
- Moltiplica entrambi i membri per 84. Ogni termine si semplifica e le frazioni scompaiono.
- Somma i termini in x e porta tutto da un lato.
- Dividi per il coefficiente di x e verifica sostituendo.
Il passaggio 3 è l’unico delicato, perché bisogna moltiplicare tutti i termini, compresi il 5, il 4 e la x a destra. Se se ne dimentica uno, l’uguaglianza non vale più. Lo strumento equazioni con frazioni applica esattamente questa sequenza.
Come risolvere l’indovinello di Diofanto con il mcm 84
La soluzione arriva moltiplicando per 84. Ogni frazione diventa un numero intero e l’equazione non ha più denominatori:
Il denominatore comune 84 non è scelto a caso. È il più piccolo multiplo comune a 6, 12, 7 e 2, perciò ogni divisione dà un risultato esatto:
14 + 7 + 12 + 42 = 75; 75x + 756 = 84x.
Con queste conversioni l’equazione diventa:
5·84 = 420 e 4·84 = 336; 420 + 336 = 756; 756 ÷ 9 = 84.
Il dettaglio da controllare è la somma 14 + 7 + 12 + 42 = 75. Degli 84 anni, queste frazioni ne coprono 75, e i 9 anni rimanenti sono esattamente i 5 anni prima della nascita del figlio più i 4 anni dopo la sua morte. La verifica 14 + 7 + 12 + 42 + 9 = 84 chiude il problema.
La verifica dell’indovinello di Diofanto, passo per passo
Verificare significa sostituire x = 84 in ogni frase dell’epitaffio e confermare che i pezzi combaciano senza avanzi. Questa è la tabella con i valori esatti e l’età cumulata:
| Tappa dell’epitaffio | Termine | Valore con x = 84 | Età cumulata |
|---|---|---|---|
| Infanzia | x/6 | 14 | 14 |
| Fino alla barba | x/12 | 7 | 21 |
| Fino al matrimonio | x/7 | 12 | 33 |
| Nasce il figlio | 5 | 5 | 38 |
| Vita del figlio | x/2 | 42 | 80 |
| Morte del padre | 4 | 4 | 84 |
L’ultima riga arriva a 84, l’età che avevamo supposto. Poiché la somma coincide con x, la soluzione è corretta. Questa verifica non è una formalità: è la prova che nessuna tappa è stata letta male.
Quanti anni aveva Diofanto quando si sposò?
Aveva 33 anni. Il matrimonio arriva dopo l’infanzia (14 anni) e le due tappe seguenti, 7 e 12, quindi 14 + 7 + 12 = 33. Sostituendo x = 84 nell’equazione di partenza, x/6 + x/12 + x/7 dà 14 + 7 + 12 = 33, esattamente l’età al matrimonio.
Quanto visse suo figlio?
Suo figlio visse 42 anni, la metà della vita del padre, perché l’epitaffio dice che il figlio visse x/2. Il padre aveva 38 anni quando nacque il figlio (33 al matrimonio più 5) e 80 quando il figlio morì (38 + 42). Quattro anni dopo, a 84, morì il padre.
Le scorciatoie della divisibilità: perché x è multiplo di 84
La risposta si può anticipare anche senza risolvere l’equazione: poiché ogni frazione deve dare un numero intero di anni, x deve essere divisibile per 6, 12, 7 e 2 contemporaneamente. Il più piccolo numero che soddisfa le quattro condizioni è il minimo comune multiplo, 84. Ogni soluzione intera è quindi un multiplo di 84.
Questo ragionamento esclude subito tutte le età che non sono multipli di 84: 50, 70 o 80 non possono essere la risposta, perché dividendole per 7 o per 12 non si ottengono anni completi. Lo strumento minimo comune multiplo calcola quel valore per qualsiasi insieme di denominatori.
Perché la soluzione non è 168 né 252?
Perché la parte fissa dell’epitaffio stabilisce la scala. Se x fosse 168, la metà della vita del figlio sarebbe 84 anni e le frazioni sommerebbero 150; con i 9 anni fissi si otterrebbe 159, non 168. Solo un valore fa sì che le frazioni più i 9 anni fissi coprano l’intera vita.
C’è un modo elegante per vederlo. Le quattro frazioni sommano 1/6 + 1/12 + 1/7 + 1/2 = 75/84 = 25/28 della vita. Ciò che manca all’unità è 1 − 25/28 = 3/28, e questo resto sono i 9 anni fissi (5 + 4). Quindi (3/28)·x = 9, da cui x = 9 · 28/3 = 84. Divisibilità ed equazione danno la stessa risposta per vie diverse, e confrontarle è un buon modo per rivedere il risultato.
Due nuovi indovinelli sull’età, con soluzione
I problemi seguenti si risolvono con la stessa idea: individuare l’incognita, tradurre ogni frase in una frazione di x ed eliminare i denominatori. Sono qui per esercitarsi, con la soluzione in vista.
Indovinello 1: la maestra e i 13 anni
Una maestra ha dedicato 1/4 della sua vita allo studio, 1/5 a insegnare a scuola e 1/3 a formare nuovi insegnanti. Gli ultimi 13 anni li ha passati in pensione. Quanti anni ha vissuto?
Si imposta x/4 + x/5 + x/3 + 13 = x. Il minimo comune multiplo di 4, 5 e 3 è 60. Moltiplicando per 60:
- x/4 · 60 = 15x
- x/5 · 60 = 12x
- x/3 · 60 = 20x
- 13 · 60 = 780
L’equazione diventa 15x + 12x + 20x + 780 = 60x. Sommando, 47x + 780 = 60x, quindi 780 = 13x e x = 60 anni. Verifica: 60/4 = 15, 60/5 = 12 e 60/3 = 20; 15 + 12 + 20 + 13 = 60. Ogni tappa è un numero intero di anni e la somma è completa.
Indovinello 2: l’orologiaio e suo figlio
Un orologiaio ha avuto suo figlio a 24 anni. Oggi l’età dell’orologiaio è 3/2 dell’età di suo figlio. Quanti anni hanno?
Qui l’incognita è l’età del figlio, y. Il padre ha y + 24 anni per la differenza di età, e questa quantità è 3/2 dell’età del figlio: y + 24 = (3/2)·y. Moltiplicando per 2, 2y + 48 = 3y, da cui y = 48. Il figlio ha 48 anni e il padre 48 + 24 = 72. Verifica: (3/2)·48 = 72, e 72 − 48 = 24, la differenza dell’enunciato.
L’errore di sommare i denominatori
Un errore frequente nel sommare le frazioni dell’epitaffio è sommare numeratori e denominatori separatamente. Qualcuno scrive x/6 + x/12 = 2x/18 = x/9 perché somma x + x sopra e 6 + 12 sotto, e così cambia la dimensione delle parti. La frazione x/9 non è la somma delle altre due.
Il metodo corretto cerca una dimensione di parte comune. In dodicesimi, x/6 = 2x/12, quindi x/6 + x/12 = 2x/12 + x/12 = 3x/12 = x/4. Con x = 84, le due tappe sommano 14 + 7 = 21, e 21 è esattamente 84/4. L’uguaglianza x/6 + x/12 = x/4 non è una scorciatoia: è la somma fatta bene, e la somma di frazioni con denominatori diversi segue sempre quella strada.
Con x = 84: 14 + 7 = 21 = 84/4.
Perché funziona il metodo del minimo comune multiplo
Moltiplicare tutta l’equazione per 84 funziona perché 84 si divide esattamente per ogni denominatore. Ogni frazione x/n diventa un numero intero di x: x/6 diventa 14x, x/12 diventa 7x, x/7 diventa 12x e x/2 diventa 42x. Senza denominatori, l’uguaglianza si tratta come un’equazione lineare ordinaria.
Il metodo non cambia la soluzione perché moltiplicare entrambi i membri per uno stesso numero diverso da zero conserva l’uguaglianza. È la stessa proprietà di equivalenza che permette di amplificare una frazione senza cambiarne il valore, applicata all’intera equazione in una volta. E poiché il mcm è il minimo denominatore comune possibile, i coefficienti che compaiono sono i più piccoli: 14, 7, 12 e 42 invece di numeri enormi.
C’è un collegamento utile con altri problemi di questo sito. Quando due quantità si dividono in parti di dimensioni diverse, il primo passo è esprimerle in un’unità comune; nei problemi di lavoro e rubinetti lo stesso passo decide quanto tempo impiega un serbatoio a riempirsi. Nelle ripartizioni con frazioni mostra quanto riceve ogni parte. La struttura è identica: un tutto, più frazioni e una verifica finale.
Che cosa insegna l’indovinello
L’indovinello serve a esercitare un meccanismo: leggere un testo con attenzione, scegliere l’incognita e verificare ogni tappa. Le frazioni rientrano in un piccolo denominatore comune, 84, il che rende il calcolo gestibile.
La calcolatrice di frazioni permette di verificare qualsiasi operazione del percorso con valori esatti. Se il risultato compare anche come decimale arrotondato, conviene conservare la frazione esatta per le verifiche. Per una serie di problemi dello stesso stile, la guida problemi con frazioni ordina vari tipi di problema.
Domande frequenti
Qual è la risposta all’indovinello di Diofanto?
La risposta è 84 anni. L’equazione x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x, moltiplicata per il minimo comune multiplo 84, diventa 75x + 756 = 84x, quindi 9x = 756 e x = 84. La verifica 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 conferma l’età.
Perché moltiplicare per 84 e non per un altro numero?
Perché 84 è il minimo comune multiplo dei denominatori 6, 12, 7 e 2, e si divide esattamente per tutti. Moltiplicare per un multiplo di 84 eliminerebbe comunque le frazioni, ma i coefficienti sarebbero più grandi e non aggiungerebbero nulla alla soluzione.
Si può risolvere l’epitaffio senza l’equazione?
In parte. Poiché ogni frazione deve dare un numero intero di anni, l’età deve essere divisibile per 6, 12, 7 e 2, quindi multiplo di 84. Inoltre i 9 anni fissi sono il resto 3/28 della vita, da cui x = 9 · 28/3 = 84. La divisibilità restringe le possibilità e la frazione restante conclude.
Diofanto di Alessandria visse davvero 84 anni?
L’enigma dà 84 anni come soluzione, ma non c’è certezza che corrisponda a una vita reale. Il testo è conservato nell’Antologia greca e la sua accuratezza biografica è sconosciuta. Va letto come un problema tradizionale sull’età, non come un fatto storico confermato.
Come si inventa un problema sull’età con le frazioni?
Prima si sceglie l’età totale e la si divide in frazioni che la dividono esattamente; poi si aggiunge un resto in anni. Per esempio, con età 60 e frazioni 1/4, 1/5 e 1/3, la parte frazionaria è 47/60 e il resto sono 13 anni. La verifica 15 + 12 + 20 + 13 = 60 convalida l’enunciato.
Qual è la differenza tra questo indovinello e un problema comune?
La differenza è che qui l’incognita compare dentro ogni frazione, non come valore moltiplicato alla fine. Questo obbliga a impostare un’equazione razionale e a eliminare i denominatori. In un problema comune la frazione si applica a una quantità nota e basta una moltiplicazione o una divisione.