Teka-teki Diophantus: usia dalam epitafnya

calculadorafracciones.com · https://calculadorafracciones.com/id/blog/teka-teki-diophantus/

Teka-teki Diophantus tentang usianya, soal klasik yang menanyakan berapa lama ia hidup, berjawaban 84 tahun: masa kecilnya 14 tahun, ia menunggu 7 tahun sampai berjenggot, 12 tahun lagi sampai menikah, memiliki anak 5 tahun kemudian, anaknya hidup 42 tahun, dan ia meninggal 4 tahun setelahnya. Soal ini diselesaikan dengan persamaan pecahan dan kelipatan persekutuan terkecil 84.

Yang penting

• Persamaannya adalah x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x, dengan x sebagai usia saat meninggal.
• Kelipatan persekutuan terkecil dari 6, 12, 7 dan 2 adalah 84, penyebut persekutuan terkecil.
• Dikalikan 84 menjadi 14x + 7x + 12x + 42x + 756 = 84x.
• Dikelompokkan: 75x + 756 = 84x, lalu 9x = 756, dan akhirnya x = 84.
• Keenam tahap berjumlah 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84 tahun.
• Pemeriksaan eksak: 84/6 = 14, 84/12 = 7, 84/7 = 12 dan 84/2 = 42.

Apa isi epitaf Diophantus dalam kata sederhana

Epitaf itu menggambarkan hidup Diophantus sebagai rangkaian pecahan dari satu bilangan: usia saat ia meninggal. Pertama, masa kecil mengambil 1/6 dari hidup itu. Lalu ia melewati 1/12 lagi sampai tumbuh jenggot, dan 1/7 lagi sampai menikah. Lima tahun kemudian anaknya lahir. Anaknya hidup setengah dari usia ayahnya, dan sang ayah meninggal 4 tahun setelah anaknya.

Inti teks ini adalah setiap tahap diukur dengan bilangan tak diketahui yang sama, x. Ini bukan enam bilangan yang berdiri sendiri, melainkan enam bagian dari satu besaran. Hal itu yang mengubah cerita menjadi persamaan: jika setiap tahap adalah pecahan dari x dan tahap-tahap itu menutupi seluruh hidup, jumlahnya harus tepat x. Penyebut persekutuan terkecil memungkinkan penjumlahannya tanpa mengubah nilai.

Sebelum menulis simbol, tentukan dulu arti setiap kalimat:

Dua tahap adalah besaran tetap, 5 dan 4 tahun, yang tidak bergantung pada x. Empat tahap lain adalah pecahan dari x. Persamaannya linear dalam x: setelah penyebut dihilangkan menjadi 75x + 756 = 84x, yang hanya punya satu penyelesaian, x = 84.

Siapa Diophantus dari Aleksandria?

Diophantus dari Aleksandria adalah seorang matematikawan Yunani. Teka-tekinya terpelihara dalam Antologi Yunani, sebuah kumpulan yang lebih muda. Tanggal hidupnya tidak pasti. Teks itu adalah teka-teki tradisional dan ketepatan biografinya tidak diketahui: ia diceritakan sebagai soal, bukan sebagai dokumen sejarah.

Perbedaan ini penting. Nilai 84 tahun adalah penyelesaian matematis teka-teki, bukan fakta terdokumentasi tentang seseorang. Meski begitu, soal ini mengajarkan hal nyata: cara menerjemahkan teks menjadi persamaan dan cara memeriksa hasilnya tahap demi tahap.

Cara menyusun persamaan usia Diophantus

Persamaan disusun dengan menjumlahkan keenam tahap dan menyamakan jumlahnya dengan seluruh hidup. Jika x adalah usia saat meninggal, setiap pecahan dalam cerita ditulis di depan x dan tahun tetap ditulis apa adanya:

x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x

Ruas kiri adalah keenam tahap, ruas kanan seluruh hidup. Persamaan itu menyatakan bahwa bagian-bagian, jika digabungkan, membentuk kembali keseluruhan. Tidak ada yang perlu ditambahkan: soal sudah menyatakan bahwa hidup berakhir 4 tahun setelah anaknya meninggal.

Mengapa setiap pecahan mengalikan x?

Setiap pecahan mengalikan x karena cerita mengukur waktu relatif terhadap seluruh hidup, bukan tahun yang terpisah. “Masa kecil berlangsung seperenam hidupnya” berarti (1/6)·x, bukan 6 tahun. Jika x berubah, masa kecil ikut berubah. Itulah bedanya pecahan dari suatu jumlah dengan bilangan tetap.

Menyadari hal ini menghindarkan kesalahan umum: membaca 1/6 seolah-olah 6 tahun. Membaca epitaf secara cepat menggoda kita menulis 6 + 12 + 7 + 5 + 2 + 4, tetapi 6, 12, 7, dan 2 bukan tahun, melainkan penyebut; hanya 5 dan 4 yang merupakan tahun tetap.

Bagaimana menyelesaikan persamaan rasional seperti ini?

Selesaikan dengan menghapus penyebut memakai kelipatan persekutuan terkecil, lalu selesaikan persamaan linear yang tersisa. Langkahnya selalu sama:

1. Tulis persamaan dengan semua pecahannya, seperti di atas.
2. Cari kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut 6, 12, 7 dan 2: KPK(6, 12, 7, 2) = 84.
3. Kalikan kedua ruas dengan 84. Setiap suku menyederhana dan pecahannya hilang.
4. Jumlahkan suku-suku x dan pindahkan semuanya ke satu ruas.
5. Bagi dengan koefisien x dan periksa dengan menyubstitusikan.

Langkah 3 paling perlu hati-hati, karena semua suku harus dikalikan, termasuk 5, 4, dan x di ruas kanan. Jika satu terlewat, persamaannya tidak lagi sah. Alat persamaan pecahan menjalankan urutan ini persis.

Cara menyelesaikan teka-teki Diophantus dengan KPK 84

Penyelesaiannya muncul saat semuanya dikalikan 84. Setiap pecahan menjadi bilangan bulat dan persamaannya tidak lagi berpenyebut:

Penyebut persekutuan 84 tidak dipilih sembarangan. Itu kelipatan terkecil yang dimiliki bersama oleh 6, 12, 7 dan 2, jadi setiap pembagian memberi hasil eksak:

Dengan pengubahan itu, persamaannya menjadi:

Yang perlu diperhatikan adalah jumlah 14 + 7 + 12 + 42 = 75. Dari 84 tahun, pecahan-pecahan itu menutupi 75, dan 9 tahun sisanya tepat 5 tahun sebelum kelahiran anak ditambah 4 tahun setelah kematiannya. Pemeriksaan 14 + 7 + 12 + 42 + 9 = 84 menutup soal ini.

Pemeriksaan teka-teki Diophantus tahap demi tahap

Memeriksa berarti menyubstitusikan x = 84 ke setiap kalimat epitaf dan memastikan bagian-bagiannya cocok tanpa sisa. Inilah tabel dengan nilai eksak dan usia kumulatif:

Baris terakhir mencapai 84, yaitu usia yang kita andaikan. Karena jumlahnya sama dengan x, penyelesaiannya benar. Pemeriksaan ini bukan formalitas: ia membuktikan tidak ada tahap yang salah dibaca.

Berapa usia Diophantus saat menikah?

Ia berusia 33 tahun. Pernikahan datang setelah masa kecil (14 tahun) dan dua tahap berikutnya, 7 dan 12, jadi 14 + 7 + 12 = 33. Jika x = 84 disubstitusikan ke persamaan awal, x/6 + x/12 + x/7 memberi 14 + 7 + 12 = 33, tepat usia saat menikah.

Berapa lama anaknya hidup?

Anaknya hidup 42 tahun, setengah dari usia ayahnya, karena epitaf menyatakan anaknya hidup x/2. Sang ayah berusia 38 tahun saat anaknya lahir (33 saat menikah ditambah 5) dan 80 tahun saat anaknya meninggal (38 + 42). Empat tahun kemudian, pada usia 84, sang ayah meninggal.

Jalan pintas keterbagian: mengapa x kelipatan 84

Jawabannya juga dapat diterka tanpa menyelesaikan persamaan: karena setiap pecahan harus menghasilkan bilangan bulat tahun, x harus habis dibagi 6, 12, 7 dan 2 sekaligus. Bilangan terkecil yang memenuhi keempat syarat itu adalah kelipatan persekutuan terkecil, 84. Jadi setiap penyelesaian bulat adalah kelipatan 84.

Penalaran itu langsung menyingkirkan semua usia yang bukan kelipatan 84: 50, 70, atau 80 tidak mungkin jawabannya, sebab membaginya dengan 7 atau 12 tidak menghasilkan tahun bulat. Alat kelipatan persekutuan terkecil menghitung nilai itu untuk himpunan penyebut apa pun.

Mengapa jawabannya bukan 168 atau 252?

Karena bagian tetap epitaf menetapkan skalanya. Jika x = 168, setengah usia anaknya menjadi 84 tahun dan pecahannya berjumlah 150; dengan 9 tahun tetap hasilnya 159, bukan 168. Hanya satu nilai yang membuat pecahan ditambah 9 tahun tetap menutupi seluruh hidup.

Ada cara elegan untuk melihatnya. Keempat pecahan berjumlah 1/6 + 1/12 + 1/7 + 1/2 = 75/84 = 25/28 dari hidupnya. Yang kurang dari satu keseluruhan adalah 1 − 25/28 = 3/28, dan sisa itu adalah 9 tahun tetap (5 + 4). Maka (3/28)·x = 9, sehingga x = 9 · 28/3 = 84. Keterbagian dan persamaan memberi jawaban sama lewat jalan berbeda, dan membandingkannya adalah cara baik untuk meninjau hasil.

Dua teka-teki usia baru, dengan penyelesaian

Soal berikut diselesaikan dengan gagasan yang sama: tentukan yang belum diketahui, terjemahkan setiap kalimat menjadi pecahan dari x, lalu hapus penyebutnya. Soal-soal ini untuk berlatih, dengan penyelesaian yang terlihat.

Teka-teki 1: guru perempuan dan 13 tahun

Seorang guru perempuan mengabdikan 1/4 hidupnya untuk belajar, 1/5 untuk mengajar di sekolah, dan 1/3 untuk mendidik guru baru. Tiga belas tahun terakhir ia habiskan sebagai pensiunan. Berapa tahun ia hidup?

Susun x/4 + x/5 + x/3 + 13 = x. Kelipatan persekutuan terkecil dari 4, 5 dan 3 adalah 60. Dikalikan 60:

1. x/4 · 60 = 15x
2. x/5 · 60 = 12x
3. x/3 · 60 = 20x
4. 13 · 60 = 780

Persamaannya menjadi 15x + 12x + 20x + 780 = 60x. Setelah dijumlahkan, 47x + 780 = 60x, jadi 780 = 13x dan x = 60 tahun. Pemeriksaan: 60/4 = 15, 60/5 = 12 dan 60/3 = 20; 15 + 12 + 20 + 13 = 60. Setiap tahap adalah bilangan bulat tahun dan jumlahnya pas.

Teka-teki 2: tukang jam dan anaknya

Seorang tukang jam mendapat anak pada usia 24 tahun. Hari ini usia tukang jam itu 3/2 dari usia anaknya. Berapa usia mereka?

Di sini yang belum diketahui adalah usia anak, y. Sang ayah berusia y + 24 tahun karena selisih usia, dan jumlah itu 3/2 dari usia anak: y + 24 = (3/2)·y. Dikalikan 2 menjadi 2y + 48 = 3y, sehingga y = 48. Anaknya berusia 48 tahun dan ayahnya 48 + 24 = 72. Pemeriksaan: (3/2)·48 = 72, dan 72 − 48 = 24, selisih yang disebutkan.

Kesalahan menjumlahkan penyebut

Kesalahan umum saat menjumlahkan pecahan epitaf adalah menjumlahkan pembilang dan penyebut secara terpisah. Seseorang menulis x/6 + x/12 = 2x/18 = x/9 karena menjumlahkan x + x di atas dan 6 + 12 di bawah, dan dengan begitu mengubah ukuran bagiannya. Pecahan x/9 bukan jumlah kedua pecahan itu.

Cara yang benar mencari ukuran bagian yang sama. Dalam perduabelasan, x/6 = 2x/12, jadi x/6 + x/12 = 2x/12 + x/12 = 3x/12 = x/4. Dengan x = 84, kedua tahap berjumlah 14 + 7 = 21, dan 21 tepat 84/4. Persamaan x/6 + x/12 = x/4 bukan jalan pintas: itu penjumlahan yang benar, dan penjumlahan pecahan berpenyebut berbeda selalu mengikuti jalan itu.

Mengapa metode KPK berhasil

Mengalikan seluruh persamaan dengan 84 berhasil karena 84 habis dibagi oleh setiap penyebut. Setiap pecahan x/n menjadi bilangan bulat kali x: x/6 menjadi 14x, x/12 menjadi 7x, x/7 menjadi 12x, dan x/2 menjadi 42x. Tanpa penyebut, persamaan itu dapat diperlakukan sebagai persamaan linear biasa.

Metode ini tidak mengubah penyelesaian karena mengalikan kedua ruas dengan bilangan bukan nol yang sama tetap mempertahankan persamaan. Itulah sifat kesetaraan yang memungkinkan memperbesar pecahan tanpa mengubah nilainya, kini diterapkan pada seluruh persamaan sekaligus. Dan karena KPK adalah penyebut persekutuan terkecil, koefisien yang muncul pun terkecil: 14, 7, 12 dan 42, bukan bilangan raksasa.

Ada kaitan berguna dengan soal lain di situs ini. Ketika dua besaran dibagi menjadi bagian berukuran berbeda, langkah pertama adalah menyatakannya dalam satuan yang sama; pada soal debit dan kerja bersama langkah yang sama menentukan berapa lama sebuah tangki terisi. Pada pembagian dengan pecahan langkah itu menunjukkan berapa bagian masing-masing. Strukturnya identik: satu keseluruhan, beberapa pecahan, dan satu pemeriksaan akhir.

Yang diajarkan teka-teki ini

Teka-teki ini berguna untuk melatih satu mekanisme: membaca teks dengan cermat, memilih yang belum diketahui, dan memeriksa setiap tahap. Pecahannya muat pada penyebut persekutuan yang kecil, 84, sehingga perhitungannya mudah diikuti.

Kalkulator pecahan memungkinkan pemeriksaan setiap operasi dalam langkah ini dengan nilai eksak. Jika hasilnya ditampilkan juga sebagai desimal yang dibulatkan, simpan pecahan eksaknya untuk pemeriksaan. Untuk rangkaian soal sejenis, panduan soal cerita pecahan mengurutkan jenis yang umum.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa jawaban teka-teki Diophantus?

Jawabannya 84 tahun. Persamaan x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x dikalikan dengan kelipatan persekutuan terkecil 84 menjadi 75x + 756 = 84x, maka 9x = 756 dan x = 84. Pemeriksaan 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 memastikan usianya.

Mengapa dikalikan 84 dan bukan angka lain?

Karena 84 adalah kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut 6, 12, 7 dan 2, dan habis dibagi oleh semuanya. Mengalikan dengan kelipatan 84 yang lain juga akan menghapus pecahan, tetapi koefisiennya menjadi jauh lebih besar dan tidak menambah hal baru pada penyelesaian.

Bisakah epitaf diselesaikan tanpa persamaan?

Sebagian bisa. Karena setiap pecahan harus menghasilkan tahun bulat, usia harus habis dibagi 6, 12, 7 dan 2, sehingga kelipatan 84. Selain itu, 9 tahun tetap adalah sisa 3/28 dari hidupnya, maka x = 9 · 28/3 = 84. Keterbagian mempersempit kemungkinan dan pecahan sisanya menuntaskan.

Apakah Diophantus dari Aleksandria benar-benar hidup 84 tahun?

Teka-teki memberi 84 tahun sebagai penyelesaian, tetapi tidak ada kepastian bahwa angka itu sesuai dengan hidup nyata. Teksnya terpelihara dalam Antologi Yunani dan ketepatan biografinya tidak diketahui. Ia harus dibaca sebagai soal usia tradisional, bukan sebagai fakta sejarah yang sudah terkonfirmasi.

Bagaimana membuat soal usia dengan pecahan?

Pilih dulu usia total lalu bagi menjadi pecahan yang membaginya dengan tepat; setelah itu tambahkan sisa dalam tahun. Misalnya, dengan usia 60 dan pecahan 1/4, 1/5 dan 1/3, bagian pecahannya 47/60 dan sisanya 13 tahun. Pemeriksaan 15 + 12 + 20 + 13 = 60 memvalidasi soalnya.

Apa bedanya teka-teki ini dengan soal biasa?

Bedanya, di sini yang belum diketahui muncul di dalam setiap pecahan, bukan sebagai nilai yang dikalikan di akhir. Itu memaksa kita menyusun persamaan rasional dan menghapus penyebutnya. Pada soal biasa, pecahan diterapkan pada jumlah yang diketahui dan satu perkalian atau pembagian sudah cukup.