Diophante est mort à 84 ans, d’après son épitaphe. Le texte ne donne pas cet âge : il le répartit en fractions de la vie elle-même, et pour le retrouver il faut poser une équation, la multiplier par le plus petit commun multiple des dénominateurs, puis isoler l’inconnue. Voici la mise en équation, la vérification étape par étape et deux énigmes voisines pour s’exercer.
Ce que dit l’épitaphe
L’épitaphe décrit la vie de Diophante comme une chaîne d’étapes mesurées avec un même nombre, l’âge x auquel il est mort. L’enfance a occupé 1/6 de cette vie, la barbe a mis 1/12 de plus à pousser et le mariage est arrivé après 1/7 de plus. Cinq ans plus tard, un fils est né, qui a vécu la moitié de la vie de son père. Le père est mort quatre ans après le fils.
| Étape | Expression | Années avec x = 84 | Âge cumulé |
|---|---|---|---|
| Enfance | x/6 | 14 | 14 |
| Jusqu’à la barbe | x/12 | 7 | 21 |
| Jusqu’au mariage | x/7 | 12 | 33 |
| Jusqu’à la naissance du fils | 5 | 5 | 38 |
| Vie du fils | x/2 | 42 | 80 |
| Jusqu’à sa propre mort | 4 | 4 | 84 |
Quatre étapes sont des fractions de x et deux sont des durées fixes, 5 et 4 ans. Le dernier âge cumulé coïncide avec le x que l’on cherchait, et cette coïncidence est la vérification du problème.
Comment poser et résoudre l’équation
Si les étapes couvrent la vie entière, leur somme est x. L’équation avec fractions s’écrit ainsi :
Exemple résolu : l’âge de Diophante
x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x. Combien vaut x ?
- Cherchez le dénominateur commun. Le plus petit commun multiple de 6, 12, 7 et 2 est 84.
- Multipliez toute l’équation par 84. Chaque fraction devient un entier : 14x + 7x + 12x + 42x + 420 + 336 = 84x.
- Additionnez les termes. 75x + 756 = 84x.
- Regroupez les x. 756 = 9x.
- Divisez par 9. x = 84.
Résultat : Diophante a vécu 84 ans.
Vérification : 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84, comme le montre le tableau ci-dessus.
L’étape 2 est la plus délicate : on multiplie chaque terme, y compris les années fixes et le x du second membre. Si l’on en oublie un, l’égalité n’est plus valable.
Un chemin sans équation
Les quatre fractions réunies valent 1/6 + 1/12 + 1/7 + 1/2 = 25/28 de la vie. Ce qui manque pour atteindre le total est 1 − 25/28 = 3/28, et cela correspond exactement aux 9 années fixes (5 + 4). Si 3/28 de la vie font 9 ans, la vie entière est 9 ÷ 3/28 = 84.
Ce raisonnement permet de contrôler le résultat par une autre voie. Il explique aussi pourquoi l’épitaphe fonctionne avec des âges entiers : x doit être un multiple de 6, 12, 7 et 2 à la fois, et le plus petit multiple commun est 84. Tout âge qui n’est pas un multiple de 84, comme 70 ou 80, laisserait des étapes qui ne durent pas un nombre entier d’années.
Ce que l’on sait de l’épitaphe
L’épitaphe est conservée dans l’Anthologie grecque, un recueil d’épigrammes que Métrodore aurait réuni vers l’an 500, d’après la biographie de MacTutor. Cette même source avertit que les données fournies par le texte « peuvent être totalement fictives ». Wikipédia en français va dans le même sens : on ne connaît à peu près rien de la vie de Diophante, hormis l’âge que donne l’épitaphe, et l’on ne sait même pas avec certitude à quel siècle il a vécu.
Le repère le plus solide sur son époque vient des citations. Diophante cite Hypsiclès, qui a écrit après 150 av. J.-C., et Théon d’Alexandrie cite une définition de Diophante, donc celui-ci a écrit au plus tard vers 350. Entre ces deux dates, il y a environ cinq cents ans. C’est pourquoi 84 est la solution d’une énigme, et non un âge documenté.
Deux énigmes pour s’exercer
Elles se résolvent de la même façon : une inconnue, chaque phrase convertie en fraction de cette inconnue, puis une équation sans dénominateurs. Si vous voulez d’autres problèmes de ce type, la page des problèmes de fractions en réunit plusieurs sortes.
Entraînez-vous
- Une enseignante a consacré 1/4 de sa vie à ses études, 1/5 à enseigner à l’école et 1/3 à former d’autres enseignants. Elle a passé ses 13 dernières années à la retraite. Combien d’années a-t-elle vécu ?
- L’âge d’un horloger est égal à 3/2 de l’âge de son fils, et l’horloger a eu son fils à 24 ans. Quel âge a chacun ?
Voir les réponses
- 60 ans. Les trois fractions totalisent 47/60 de la vie, il reste 13/60 et ce sont les 13 années de retraite, donc 13 ÷ 13/60 = 60. Vérification : 15 + 12 + 20 + 13 = 60.
- Le fils a 48 ans et l’horloger 72. Si y est l’âge du fils, y + 24 = (3/2) · y, donc 24 est la moitié de y. Vérification : 72 − 48 = 24.
Un problème voisin, mais de partage plutôt que d’âges, est celui des 17 chameaux : il se résout lui aussi quand les fractions de l’énoncé ne totalisent pas un entier.
Sources
- Wikipédia en français, article Diophante d’Alexandrie, sur l’épitaphe et le peu que l’on sait de sa vie (consulté le 17 octobre 2026).
- J. J. O’Connor et E. F. Robertson, Diophantus of Alexandria, MacTutor History of Mathematics, université de St Andrews, en anglais : texte de l’épigramme, âge de 84 ans et datation de Diophante (consulté le 17 octobre 2026).