Diofante morreu aos 84 anos, segundo o epitáfio. O texto não diz a idade: reparte-a em frações da própria vida, e para recuperá-la é preciso montar uma equação, multiplicá-la pelo MMC dos denominadores e isolar x. Aqui estão a montagem, a conferência etapa por etapa e dois enigmas parecidos para praticar.
O que diz o epitáfio
O epitáfio descreve a vida de Diofante como uma cadeia de trechos medidos com um mesmo número, a idade x em que ele morreu. A infância ocupou 1/6 dessa vida, a barba demorou mais 1/12 para aparecer e o casamento veio depois de mais 1/7. Cinco anos depois nasceu um filho, que viveu a metade do que o pai viveu. O pai morreu quatro anos depois do filho.
| Trecho | Expressão | Anos com x = 84 | Idade acumulada |
|---|---|---|---|
| Infância | x/6 | 14 | 14 |
| Até aparecer a barba | x/12 | 7 | 21 |
| Até o casamento | x/7 | 12 | 33 |
| Até nascer o filho | 5 | 5 | 38 |
| Vida do filho | x/2 | 42 | 80 |
| Até a própria morte | 4 | 4 | 84 |
Quatro trechos são frações de x e dois são anos fixos, 5 e 4. A última idade acumulada coincide com o x procurado, e essa coincidência é a conferência do problema.
Como montar e resolver a equação
Se os trechos cobrem a vida inteira, a soma deles é x. A equação com frações fica assim:
Exemplo resolvido: a idade de Diofante
x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x. Quanto vale x?
- Calcule o denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 6, 12, 7 e 2 é 84.
- Multiplique a equação toda por 84. Cada fração vira um inteiro: 14x + 7x + 12x + 42x + 420 + 336 = 84x.
- Some os termos. 75x + 756 = 84x.
- Agrupe os x. 756 = 9x.
- Divida por 9. x = 84.
Resultado: Diofante viveu 84 anos.
Conferência: 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84, como mostra a tabela acima.
O passo 2 é o delicado: multiplica-se cada termo, inclusive os anos fixos e o x do segundo membro. Se algum for esquecido, a igualdade deixa de valer.
Um caminho sem equação
As quatro frações juntas valem 1/6 + 1/12 + 1/7 + 1/2 = 25/28 da vida. O que falta para completar o total é 1 − 25/28 = 3/28, e isso são justamente os 9 anos fixos (5 + 4). Se 3/28 da vida são 9 anos, a vida inteira é 9 ÷ 3/28 = 84.
Este raciocínio serve para revisar o resultado por outra via. Também explica por que o epitáfio funciona com idades inteiras: x deve ser múltiplo de 6, 12, 7 e 2 ao mesmo tempo, e o menor múltiplo comum é 84. Qualquer outra idade que não seja múltiplo de 84, como 70 ou 80, deixaria trechos com anos pela metade.
O que se sabe sobre o epitáfio
O epitáfio se conserva na Antologia grega, uma coletânea de epigramas que, segundo a biografia do MacTutor, foi reunida por Metrodoro por volta do ano 500. Essa mesma fonte avisa que os dados do texto “podem ser totalmente fictícios”. A Wikipédia em espanhol concorda no essencial: da vida de Diofante não se sabe nada seguro, salvo a idade que diz o epitáfio, e nem sequer se conhece com certeza o século em que ele viveu.
O dado mais sólido sobre a época dele vem das citações. Diofante cita Hipsicles, que escreveu depois de 150 a.C., e Teão de Alexandria cita uma definição de Diofante, portanto ele escreveu no máximo por volta de 350. Entre as duas datas há cerca de quinhentos anos. Por isso o 84 é a solução de um enigma, não uma idade documentada.
Dois enigmas para praticar
Resolvem-se do mesmo modo: uma incógnita, cada frase convertida em fração dessa incógnita e uma equação sem denominadores. Para mais problemas deste estilo, a página de problemas de frações resolvidos reúne vários tipos.
Pratique
- Uma professora dedicou 1/4 da vida a estudar, 1/5 a dar aula na escola e 1/3 a formar outros professores. Os últimos 13 anos ela passou aposentada. Quantos anos ela viveu?
- A idade de um relojoeiro é 3/2 da idade do filho, e o relojoeiro teve o filho aos 24 anos. Que idade tem cada um?
Ver as respostas
- 60 anos. As três frações somam 47/60 da vida, sobram 13/60 e esses são os 13 anos de aposentadoria, logo 13 ÷ 13/60 = 60. Conferência: 15 + 12 + 20 + 13 = 60.
- O filho tem 48 anos e o relojoeiro 72. Se y é a idade do filho, y + 24 = (3/2) · y, então 24 é a metade de y. Conferência: 72 − 48 = 24.
Um problema parecido, mas de partilha em vez de idades, é o dos 17 camelos: também se resolve quando as frações do enunciado não somam um inteiro.
Fontes
- Wikipédia em espanhol, artigo Diofanto de Alejandría, sobre o epitáfio e o pouco que se conhece da vida dele (consultado em 16 de outubro de 2026).
- J. J. O’Connor e E. F. Robertson, Diophantus of Alexandria, MacTutor History of Mathematics, Universidade de St Andrews, em inglês: texto do epigrama, idade de 84 anos e datação de Diofante (consultado em 16 de outubro de 2026).