Diophant starb mit 84 Jahren, so steht es in seiner Grabinschrift. Das Alter nennt der Text aber nicht: Er verteilt es auf Bruchteile des eigenen Lebens. Um es zurückzugewinnen, stellst du eine Gleichung auf, multiplizierst sie mit dem kgV der Nenner und löst nach x auf. Hier findest du den Ansatz, die Probe Etappe für Etappe und zwei ähnliche Rätsel zum Üben.
Was die Grabinschrift sagt
Die Grabinschrift beschreibt Diophants Leben als Kette von Abschnitten, die alle mit derselben Zahl gemessen werden: dem Alter x, in dem er starb. Die Kindheit nahm 1/6 dieses Lebens ein, bis zum Bart verging 1/12 mehr, und die Hochzeit kam nach weiteren 1/7. Fünf Jahre später wurde ein Sohn geboren, der halb so lange lebte wie sein Vater. Der Vater starb vier Jahre nach dem Sohn.
| Abschnitt | Term | Jahre mit x = 84 | Alter insgesamt |
|---|---|---|---|
| Kindheit | x/6 | 14 | 14 |
| Bis zum Bart | x/12 | 7 | 21 |
| Bis zur Hochzeit | x/7 | 12 | 33 |
| Bis zur Geburt des Sohnes | 5 | 5 | 38 |
| Leben des Sohnes | x/2 | 42 | 80 |
| Bis zum eigenen Tod | 4 | 4 | 84 |
Vier Abschnitte sind Bruchteile von x, zwei sind feste Jahre: 5 und 4. Das Alter in der letzten Zeile stimmt mit dem gesuchten x überein, und genau diese Übereinstimmung ist die Probe der Aufgabe.
So stellst du die Gleichung auf und löst sie
Decken die Abschnitte das ganze Leben ab, ist ihre Summe x. Die Bruchgleichung lautet:
Beispiel: das Alter des Diophant
x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x. Wie groß ist x?
- Bestimme den gemeinsamen Nenner. Das kgV von 6, 12, 7 und 2 ist 84.
- Multipliziere die ganze Gleichung mit 84. Jeder Bruch wird zu einer ganzen Zahl: 14x + 7x + 12x + 42x + 420 + 336 = 84x.
- Fasse die Terme zusammen. 75x + 756 = 84x.
- Bringe die x auf eine Seite. 756 = 9x.
- Teile durch 9. x = 84.
Ergebnis: Diophant wurde 84 Jahre alt.
Probe: 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84, wie die Tabelle oben zeigt.
Schritt 2 ist die heikle Stelle: Du multiplizierst jeden Term, auch die festen Jahre und das x auf der rechten Seite. Vergisst du einen, stimmt die Gleichung nicht mehr.
Ein Weg ohne Gleichung
Die vier Brüche zusammen ergeben 1/6 + 1/12 + 1/7 + 1/2 = 25/28 des Lebens. Bis zum Ganzen fehlen 1 − 25/28 = 3/28, und das sind genau die 9 festen Jahre (5 + 4). Wenn 3/28 des Lebens 9 Jahre sind, dann ist das ganze Leben 9 ÷ 3/28 = 84 Jahre.
Mit dieser Überlegung kontrollierst du das Ergebnis auf einem zweiten Weg. Sie zeigt auch, warum die Inschrift mit ganzen Jahren aufgeht: x muss ein Vielfaches von 6, 12, 7 und 2 zugleich sein, und das kleinste gemeinsame Vielfache ist 84. Jedes Alter, das kein Vielfaches von 84 ist, etwa 70 oder 80, würde Abschnitte mit halben Jahren ergeben.
Was über die Inschrift bekannt ist
Die Grabinschrift ist in der Anthologia Graeca überliefert, einer Sammlung von Epigrammen, die laut der MacTutor-Biografie Metrodoros um das Jahr 500 zusammenstellte. Dieselbe Quelle weist darauf hin, dass die Angaben des Textes „völlig erfunden“ sein können. Die deutsche Wikipedia stimmt im Kern überein: Aus der Inschrift ergibt sich ein Alter von 84 Jahren, und für die Lebenszeit Diophants schwanken die Schätzungen zwischen 100 v. Chr. und 350 n. Chr.
Am sichersten ist seine Zeit über die Zitate einzugrenzen. Diophant zitiert Hypsikles, der nach 150 v. Chr. schrieb, und Theon von Alexandria zitiert eine Definition von Diophant, er schrieb also spätestens um 350. Zwischen beiden Daten liegen rund fünfhundert Jahre. Deshalb ist die 84 die Lösung eines Rätsels und kein belegtes Alter.
Zwei Rätsel zum Üben
Du löst sie genauso: eine Unbekannte, jeden Satz als Bruchteil dieser Unbekannten schreiben und eine Gleichung ohne Nenner aufstellen. Mehr Aufgaben dieser Art findest du auf der Seite Sachaufgaben mit Brüchen.
Übe selbst
- Eine Lehrerin widmete 1/4 ihres Lebens dem Studium, 1/5 dem Unterricht an der Schule und 1/3 der Ausbildung anderer Lehrkräfte. Die letzten 13 Jahre verbrachte sie im Ruhestand. Wie viele Jahre lebte sie?
- Das Alter eines Uhrmachers ist 3/2 des Alters seines Sohnes, und der Uhrmacher bekam den Sohn mit 24 Jahren. Wie alt sind beide?
Lösungen anzeigen
- 60 Jahre. Die drei Brüche ergeben zusammen 47/60 des Lebens, es bleiben 13/60, und das sind die 13 Jahre im Ruhestand, also 13 ÷ 13/60 = 60. Probe: 15 + 12 + 20 + 13 = 60.
- Der Sohn ist 48 Jahre alt, der Uhrmacher 72. Ist y das Alter des Sohnes, gilt y + 24 = (3/2) · y, also ist 24 die Hälfte von y. Probe: 72 − 48 = 24.
Eine ähnliche Aufgabe, bei der es um eine Verteilung statt um ein Alter geht, ist das Rätsel der 17 Kamele: Auch dort geht sie auf, wenn die Brüche der Aufgabe kein ganzes Erbe ergeben.
Quellen
- J. J. O’Connor und E. F. Robertson, Diophantus of Alexandria, MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, auf Englisch: Text des Epigramms, Alter von 84 Jahren und zeitliche Einordnung Diophants (abgerufen am 17. Oktober 2026).
- Wikipedia, Artikel Diophantos von Alexandria, zur Grabinschrift und zur unsicheren Datierung seiner Lebenszeit (abgerufen am 17. Oktober 2026).