Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses der Bruch günstige Fälle / mögliche Fälle, und sie liegt immer zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher). In einer Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln ist die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel 3/5. Zwei rote Kugeln hintereinander ohne Zurücklegen der ersten sind 3/10; warum, siehst du weiter unten. Gehst du dagegen von gezählten Daten aus, hilft der Ratgeber zur relativen Häufigkeit mit Brüchen.
| In der Aufgabe steht | Rechnung | Beispiel |
|---|---|---|
| Ein einzelnes Ereignis | Günstige durch mögliche Fälle | Eine 5 mit einem Würfel: 1/6 |
| „Nicht“, „keine“, „mindestens eine“ | 1 minus die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses | Keine 6 würfeln: 1 − P(6) = 5/6 |
| „Oder“ | Summe, minus den gemeinsamen Teil | Gerade oder Vielfaches von 3 mit einem Würfel: 3/6 + 2/6 − 1/6 = 2/3 |
| „Und“, eins nach dem anderen | Produkt | Kopf und eine 6: P(Kopf) × P(6) = 1/12 |
Das Signalwort in der Aufgabe entscheidet über die Rechnung, der Rest ist sauberes Zählen und Kürzen. Die Regel, günstige durch mögliche Fälle zu teilen, heißt Laplace-Formel und setzt gleich wahrscheinliche Ergebnisse voraus (Wikipedia, abgerufen am 17. Oktober 2026).
Bei zwei Würfeln gibt es 36 geordnete Paare, die alle gleich wahrscheinlich sind. Die Summe 7 entsteht aus sechs davon (1 und 6, 2 und 5, 3 und 4, 4 und 3, 5 und 2, 6 und 1), also ist P(Summe 7) = 6/36 = 1/6.
Legst du die erste Kugel zurück, hat die Urne wieder 3 rote von 5, und die Wahrscheinlichkeit ist 3/5 × 3/5 = 9/25. Weil 0,3 kleiner ist als 0,36, senkt das Nichtzurücklegen die Wahrscheinlichkeit: Für den zweiten Zug sind weniger rote Kugeln übrig. Für das Produkt kannst du den Rechner zum Multiplizieren von Brüchen nutzen.
Gegenereignis
Das Gegenereignis von A tritt ein, wenn A nicht eintritt, und seine Wahrscheinlichkeit ist 1 − P(A). Keine 6 mit einem Würfel ergibt 1 − 1/6 = 5/6, genau das, was du auch beim Zählen der fünf günstigen von sechs Fällen erhältst.
Der Umweg lohnt sich, wenn das Gegenereignis leichter zu zählen ist. Bei „mindestens eine 6 mit zwei Würfeln“ ist das Gegenereignis „keine 6“: Jeder Würfel verfehlt sie mit der Wahrscheinlichkeit 5/6, und weil die Würfel unabhängig sind, gilt 5/6 × 5/6 = 25/36. Also ist P(mindestens eine 6) = 1 − 25/36 = 11/36. In einer Tabelle mit 6 × 6 Feldern sind das die letzte Zeile und die letzte Spalte: 6 + 6 − 1 = 11 Felder von 36.
Beispiel mit Lösung: zwei rote Kugeln ohne Zurücklegen
Eine Urne enthält 3 rote und 2 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln nacheinander, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide rot sind?
- Erste Kugel. 3 rote von 5 Kugeln ergeben 3/5.
- Zweite Kugel. War die erste rot, bleiben 4 Kugeln, davon 2 rote: 2/4.
- Multiplizieren. Beides muss eintreten, also 3/5 × 2/4 = 6/20.
- Kürzen. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 6 und 20 ist 2, und 6/20 = 3/10.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 3/10, also 0,3 oder 30 %.
Probe. Es gibt 5 × 4 = 20 geordnete Paare von Kugeln, und 3 × 2 = 6 davon bestehen aus zwei roten. Wieder ergibt sich 6/20.
Ereignisse mit „oder“
Können die Ereignisse nicht gleichzeitig eintreten, addierst du. Eine 1 oder eine 2 mit einem Würfel sind 2 günstige Fälle von 6, also 2/6.
Können sie gleichzeitig eintreten, musst du den gemeinsamen Teil abziehen, weil er doppelt gezählt wurde. In einem Kartenspiel mit 52 Karten gibt es 13 Herz-Karten und 4 Könige, und der Herz-König ist beides:
P(Herz oder König) = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13.
Zählst du direkt, sind es 13 Herz-Karten plus 3 Könige in den anderen Farben, also 16 günstige Karten. Brüche mit verschiedenen Nennern addierst du mit dem Rechner zum Addieren von Brüchen.
Ereignisse mit „und“
Ändert das Ergebnis des einen nichts an den Wahrscheinlichkeiten des anderen (die Ereignisse sind unabhängig), multiplizierst du. Bei einer Münze und einem Würfel ist Kopf und eine 6 gleich 1/2 × 1/6 = 1/12.
Verändert das erste Ergebnis, was übrig bleibt, etwa beim Ziehen ohne Zurücklegen, berechnest du den zweiten Bruch mit dem Rest, wie im Beispiel mit der Urne. Stell dir in jedem anderen Fall dieselbe Frage: Hängt die zweite Wahrscheinlichkeit davon ab, was vorher passiert ist?
Wahrscheinlichkeit und beobachtete Häufigkeit
Wirfst du eine Münze 20-mal und erhältst 13-mal Kopf, ist 13/20 = 0,65 eine beobachtete Häufigkeit. Die Wahrscheinlichkeit einer fairen Münze bleibt 1/2. Bei langen Serien nähert sich die Häufigkeit meist der Wahrscheinlichkeit an, bei einer kurzen Serie ist eine Abweichung normal. Der Ratgeber zur relativen Häufigkeit mit Brüchen zeigt, wie du sie mit echten Daten berechnest.
Um eine Wahrscheinlichkeit in Prozent anzugeben, zeigt der Rechner Bruch in Prozent den vollständigen Wert und eine Dezimalnäherung; mit dem Rechner zum Kürzen von Brüchen vereinfachst du das Ergebnis.
Zum Üben
- In einem Beutel liegen 4 grüne und 6 gelbe Plättchen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein grünes zu ziehen?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine ungerade Zahl oder eine 4 zu würfeln?
- Du wirfst zwei Münzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Zahl?
- In einer Tüte sind 5 Erdbeerbonbons und 3 Zitronenbonbons. Du ziehst zwei, ohne das erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Erdbeerbonbons sind?
Lösungen anzeigen
- 4/10 = 2/5
- Es gibt 3 ungerade Zahlen, und die 4 ist nicht ungerade, also überschneiden sich die Fälle nicht. Es ergibt sich 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3
- 1/2 × 1/2 = 1/4
- 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14
Weitere Aufgaben mit Lösung findest du unter Bruchaufgaben mit Lösungen.
Quellen
- Wikipedia (deutsch), Artikel Laplace-Formel, Einleitung: Hat ein Zufallsexperiment endlich viele Elementarereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus der Anzahl der Fälle, in denen es eintritt, geteilt durch die Anzahl aller möglichen Fälle (abgerufen am 17. Oktober 2026).