Se tutti gli esiti sono ugualmente probabili, la probabilità di un evento è la frazione casi favorevoli / casi possibili, e resta sempre tra 0 (impossibile) e 1 (certo). In un’urna con 3 palline rosse e 2 blu, estrarre una rossa vale 3/5. Estrarre due rosse di fila senza rimettere la prima vale 3/10, e più avanti si vede perché. Se invece parti da dati contati, vai alla guida sulla frequenza relativa con le frazioni.
| Il problema dice | Operazione | Esempio |
|---|---|---|
| Un solo evento | Favorevoli su possibili | Un 5 con un dado: 1/6 |
| «Non», «nessuno», «almeno uno» | 1 meno la probabilità del contrario | Non uscire 6: 1 − P(6) = 5/6 |
| «O» | Somma, e togli la parte comune | Pari o multiplo di 3 con un dado: 3/6 + 2/6 − 1/6 = 2/3 |
| «E», uno dopo l'altro | Prodotto | Testa e un 6: P(testa) × P(6) = 1/12 |
La parola chiave del testo decide l’operazione, il resto è contare bene e semplificare. La regola che divide i casi favorevoli per i casi possibili è la definizione classica di probabilità e richiede esiti equiprobabili (Wikipedia in italiano, consultato il 17 ottobre 2026).
Con due dadi ci sono 36 coppie ordinate ugualmente probabili. La somma 7 esce da sei di esse (1 e 6, 2 e 5, 3 e 4, 4 e 3, 5 e 2, 6 e 1), quindi P(somma 7) = 6/36 = 1/6.
Se rimetti la prima pallina, l’urna torna ad avere 3 rosse su 5 e la probabilità è 3/5 × 3/5 = 9/25. Poiché 0,3 è minore di 0,36, non rimettere la pallina riduce la probabilità: per la seconda estrazione restano meno rosse. Per il prodotto puoi usare il calcolatore di moltiplicazione di frazioni.
Evento contrario
Il contrario di A si verifica quando A non si verifica, e la sua probabilità è 1 − P(A). Non ottenere 6 con un dado vale 1 − 1/6 = 5/6, lo stesso valore che si trova contando i cinque casi favorevoli su sei.
La scorciatoia serve quando il contrario è più facile da contare. Per «almeno un 6 con due dadi» il contrario è «nessun 6»: ogni dado fallisce con probabilità 5/6 e, essendo indipendenti, 5/6 × 5/6 = 25/36. Quindi P(almeno un 6) = 1 − 25/36 = 11/36. Contate in una tabella 6 × 6, sono l’ultima riga e l’ultima colonna: 6 + 6 − 1 = 11 caselle su 36.
Esempio svolto: due rosse senza reimmissione
Un'urna contiene 3 palline rosse e 2 blu. Estrai due palline, una dopo l'altra, senza rimettere la prima. Qual è la probabilità che siano entrambe rosse?
- Prima pallina. Ci sono 3 rosse su 5 palline, cioè 3/5.
- Seconda pallina. Se la prima era rossa, restano 4 palline e 2 sono rosse, cioè 2/4.
- Moltiplica. Devono verificarsi entrambe le cose, quindi 3/5 × 2/4 = 6/20.
- Semplifica. Il massimo comune divisore (MCD) di 6 e 20 è 2, e 6/20 = 3/10.
La probabilità è 3/10, ovvero 0,3 o il 30%.
Verifica. Ci sono 5 × 4 = 20 coppie ordinate di palline e 3 × 2 = 6 sono di due rosse. Si ottiene di nuovo 6/20.
Eventi con «o»
Se gli eventi non possono verificarsi insieme, si sommano. Un 1 o un 2 con un dado sono 2 casi favorevoli su 6, ovvero 2/6.
Se possono verificarsi insieme, bisogna togliere la parte comune, perché è stata contata due volte. In un mazzo di carte francesi da 52 ci sono 13 cuori e 4 re, e il re di cuori è entrambe le cose:
P(cuori o re) = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13.
Contando direttamente, ci sono 13 cuori più 3 re degli altri semi: 16 carte favorevoli. Per sommare probabilità con denominatori diversi c’è il calcolatore di somma di frazioni.
Eventi con «e»
Se l’esito di un evento non cambia le probabilità dell’altro (sono indipendenti), le probabilità si moltiplicano. Con una moneta e un dado, testa e un 6 vale 1/2 × 1/6 = 1/12.
Se il primo esito cambia ciò che resta, come quando estrai senza reimmissione, la seconda frazione si calcola su ciò che resta, come nell’esempio dell’urna. In ogni altro caso, poniti la stessa domanda: la seconda probabilità dipende da ciò che è successo prima?
Probabilità e frequenza osservata
Se lanci una moneta 20 volte ed escono 13 teste, 13/20 = 0,65 è una frequenza osservata. La probabilità di una moneta equilibrata resta 1/2. Nelle serie lunghe la frequenza tende ad avvicinarsi alla probabilità, ma in una serie breve è normale che se ne allontani. La guida sulla frequenza relativa con le frazioni spiega come calcolarla con dati reali.
Per esprimere una probabilità in percentuale, il calcolatore da frazione a percentuale mostra il valore completo e un’approssimazione decimale; quello per semplificare le frazioni riduce il risultato.
Esercitati
- In un sacchetto ci sono 4 gettoni verdi e 6 gialli. Qual è la probabilità di estrarne uno verde?
- Con un dado, qual è la probabilità che esca un numero dispari o un 4?
- Lanci due monete. Qual è la probabilità di due croci?
- In un sacchetto ci sono 5 caramelle alla fragola e 3 al limone. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità che siano entrambe alla fragola?
Vedi le risposte
- 4/10 = 2/5
- I dispari sono 3 e il 4 non è dispari, quindi non c’è sovrapposizione. Si ottiene 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3
- 1/2 × 1/2 = 1/4
- 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14
Altri esercizi con soluzione sono negli esercizi svolti sulle frazioni.
Fonti
- Wikipedia in italiano, voce Probabilità, sezioni sulla definizione classica (rapporto tra casi favorevoli e casi possibili, valori tra 0 e 1) e sulla definizione assiomatica (probabilità dell’evento complementare) (consultato il 17 ottobre 2026).