Quand toutes les issues sont équiprobables, la probabilité d’un événement est la fraction cas favorables / cas possibles, toujours comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain). Dans une urne de 3 boules rouges et 2 bleues, tirer une rouge vaut 3/5. Tirer deux rouges de suite sans remettre la première vaut 3/10 ; la suite de la page montre pourquoi. Si vous partez plutôt de données comptées, consultez la fréquence relative avec des fractions.
| L’énoncé dit | Opération | Exemple |
|---|---|---|
| Un seul événement | Favorables sur possibles | Un 5 avec un dé : 1/6 |
| « Non », « aucun », « au moins un » | 1 moins la probabilité du contraire | Ne pas obtenir 6 : 1 − P(6) = 5/6 |
| « Ou » | Somme, en retirant la partie commune | Pair ou multiple de 3 avec un dé : 3/6 + 2/6 − 1/6 = 2/3 |
| « Et », l’un après l’autre | Produit | Pile et un 6 : P(pile) × P(6) = 1/12 |
Le mot-clé de l’énoncé décide de l’opération ; le reste consiste à bien compter et à simplifier. La règle qui divise les cas favorables par les cas possibles suppose des issues équiprobables (Wikipédia en français, consulté le 17 octobre 2026).
Avec deux dés, il y a 36 couples ordonnés équiprobables. La somme 7 provient de six d’entre eux (1 et 6, 2 et 5, 3 et 4, 4 et 3, 5 et 2, 6 et 1), donc P(somme 7) = 6/36 = 1/6.
Si vous remettez la première boule, l’urne contient de nouveau 3 rouges sur 5 et la probabilité est 3/5 × 3/5 = 9/25. Comme 0,3 est inférieur à 0,36, ne pas remettre la boule réduit la probabilité : il reste moins de rouges pour le second tirage. Pour le produit, vous pouvez utiliser l’outil de multiplication de fractions.
Événement contraire
Le contraire de A se réalise quand A ne se réalise pas ; sa probabilité vaut 1 − P(A). Ne pas obtenir 6 avec un dé, c’est 1 − 1/6 = 5/6, ce qui coïncide avec les cinq cas favorables sur six.
Ce raccourci sert quand le contraire se dénombre plus facilement. Pour « au moins un 6 avec deux dés », le contraire est « aucun 6 » : chaque dé échoue avec une probabilité de 5/6 et, les dés étant indépendants, 5/6 × 5/6 = 25/36. Donc P(au moins un 6) = 1 − 25/36 = 11/36. Dans un tableau de 6 × 6, ce sont la dernière ligne et la dernière colonne : 6 + 6 − 1 = 11 cases sur 36.
Exemple résolu : deux rouges sans remise
Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. Vous tirez deux boules, l’une après l’autre, sans remettre la première. Quelle est la probabilité que les deux soient rouges ?
- Première boule. Il y a 3 rouges sur 5 boules, soit 3/5.
- Seconde boule. Si la première était rouge, il reste 4 boules dont 2 rouges, soit 2/4.
- Multipliez. Les deux événements doivent se produire, donc 3/5 × 2/4 = 6/20.
- Simplifiez. Le plus grand commun diviseur (PGCD) de 6 et 20 est 2, et 6/20 = 3/10.
La probabilité est 3/10, soit 0,3 ou 30 %.
Vérification. Il y a 5 × 4 = 20 couples ordonnés de boules, et 3 × 2 = 6 sont formés de deux rouges. On retrouve 6/20.
Événements reliés par « ou »
Si les événements ne peuvent pas se produire en même temps, on additionne. Un 1 ou un 2 avec un dé, c’est 2 cas favorables sur 6, soit 2/6.
S’ils peuvent se produire ensemble, il faut retirer la partie commune, comptée deux fois. Dans un jeu de 52 cartes, il y a 13 cœurs et 4 rois, et le roi de cœur est les deux à la fois :
P(cœur ou roi) = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13.
En comptant directement, on a 13 cœurs plus 3 rois des autres couleurs, soit 16 cartes favorables. Pour additionner des probabilités de dénominateurs différents, utilisez l’outil d’addition de fractions.
Événements reliés par « et »
Si le résultat de l’un ne change pas les probabilités de l’autre (ils sont indépendants), on multiplie. Avec une pièce et un dé, pile et un 6 vaut 1/2 × 1/6 = 1/12.
Si la première issue change ce qui reste, comme dans un tirage sans remise, la seconde fraction se calcule sur ce qui reste, comme dans l’exemple de l’urne. Dans tous les autres cas, posez-vous la même question : la seconde probabilité dépend-elle de ce qui s’est passé avant ?
Probabilité et fréquence observée
Si vous lancez une pièce 20 fois et obtenez 13 piles, 13/20 = 0,65 est une fréquence observée. La probabilité d’une pièce équilibrée reste 1/2. Sur de longues séries, la fréquence tend à se rapprocher de la probabilité, mais sur une courte série, il est normal qu’elle s’en écarte. Le guide de la fréquence relative avec des fractions explique comment la calculer avec des données réelles.
Pour exprimer une probabilité en pourcentage, le calculateur de fraction en pourcentage affiche la valeur complète et une approximation décimale ; celui pour simplifier une fraction réduit le résultat.
Entraînez-vous
- Un sac contient 4 jetons verts et 6 jaunes. Quelle est la probabilité de tirer un jeton vert ?
- Avec un dé, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair ou un 4 ?
- On lance deux pièces. Quelle est la probabilité d’obtenir deux faces ?
- Un sac contient 5 bonbons à la fraise et 3 au citron. Vous en tirez deux sans remise. Quelle est la probabilité que les deux soient à la fraise ?
Voir les réponses
- 4/10 = 2/5
- Il y a 3 nombres impairs et le 4 n’est pas impair : il n’y a pas de chevauchement. On obtient 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3
- 1/2 × 1/2 = 1/4
- 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14
D’autres exercices avec réponses figurent dans les exercices de fractions corrigés.
Sources
- Wikipédia en français, article Probabilité : présente la probabilité d’un événement comme le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles pour des issues équiprobables, et comme un nombre compris entre 0 et 1 (consulté le 17 octobre 2026).