L’aire d’une figure s’obtient en multipliant des mesures, et le périmètre en les additionnant. Un rectangle de 4/3 m sur 3/8 m a une aire de 1/2 m² et un périmètre de 41/12 m, avec des unités différentes. Si l’on vous demande l’aire, le produit se calcule avec la calculatrice de multiplication de fractions ; si l’on vous demande le périmètre, la somme des côtés se fait avec celle d’addition de fractions.
| On vous demande | Opération | Unité |
|---|---|---|
| Aire d'un rectangle | Base × hauteur | m², cm² |
| Aire d'un carré | Côté × côté | m², cm² |
| Aire d'un triangle | Base × hauteur ÷ 2 | m², cm² |
| Périmètre d'un rectangle | 2 × (base + hauteur) | m, cm |
| Périmètre d'un triangle ou d'un carré | Somme des côtés, ou 4 × côté | m, cm |
| Un côté, connaissant l'aire et l'autre côté | Aire ÷ côté connu | m, cm |
Le tableau sépare les deux mondes : ce qui se multiplie donne une surface, et ce qui s’additionne donne une longueur. Dans le triangle, la hauteur est la distance perpendiculaire à la base, et non le côté incliné.
Pourquoi l’aire s’exprime en unités carrées
Multiplier deux longueurs donne une surface, et c’est pourquoi des mètres par des mètres donnent des mètres carrés. Découpez le rectangle en quadrillage, avec des colonnes d’un demi-mètre et des lignes de 1/4 m. Chaque case couvre 1/8 de mètre carré, et il y a 5 × 3 = 15 cases. Ce comptage est la multiplication des numérateurs et des dénominateurs.
Le périmètre, lui, suit le bord et mesure une longueur : il reste donc en mètres. Si l’aire apparaît en mètres et non en mètres carrés, le carré a été oublié. Le graphique de fractions permet de dessiner d’autres modèles de ce type.
Exemple résolu : un rectangle en mètres
Un rectangle mesure 2 1/2 m de long et 3/4 m de large. Calculez son aire et son périmètre.
- Convertissez le nombre mixte. 2 × 2 + 1 = 5, donc 2 1/2 = 5/2.
- Multipliez pour l’aire. (5 × 3)/(2 × 4) = 15/8, déjà irréductible.
- Additionnez les deux côtés. Avec le dénominateur 4, 5/2 devient 10/4, et 10/4 + 3/4 = 13/4.
- Doublez pour le périmètre. 2 × 13/4 = 26/4 = 13/2.
Résultat : aire 1 7/8 m², périmètre 6,5 m.
Vérification : en décimaux, 2,5 × 0,75 = 1,875, et 15 ÷ 8 donne la même valeur. Pour le périmètre, 2 × (2,5 + 0,75) = 6,5.
Comment calculer l’aire d’une figure composée
Découpez la figure en rectangles, ou retirez une pièce à un rectangle plus grand. Imaginez une plaque de 3 m sur 2 m à laquelle il manque une encoche de 3/2 m sur 1/2 m dans un coin. Le rectangle complet fait 3 × 2 = 6 m², l’encoche occupe 3/2 × 1/2 = 3/4 m², et la plaque mesure 6 − 3/4 = 21/4 m², soit 5 1/4 m².
Le périmètre a une particularité : il vaut autant que celui du rectangle complet, 2 × (3 + 2) = 10 m. En retirant le coin, on perd 3/2 m de bord en haut et un demi-mètre sur un côté, mais deux autres tronçons de ces mêmes longueurs apparaissent à l’intérieur de l’encoche. Cela n’arrive que lorsque l’encoche touche le coin. Si la pièce est découpée au milieu d’un côté, le périmètre augmente.
Pour convertir des nombres mixtes à la main ou vérifier votre conversion, utilisez nombres mixtes ou nombre mixte en fraction.
Comment trouver un côté manquant
Avec l’aire et un côté, l’autre côté est l’aire divisée par le côté connu. Si l’aire est de 9/10 m² et qu’un côté mesure 3/5 m, l’autre mesure 9/10 ÷ 3/5. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, donc 9/10 × 5/3 = 45/30 = 3/2 m. La calculatrice de division de fractions fait cette inversion.
Avec le périmètre, le chemin est différent. Divisez le périmètre par 2 pour obtenir la somme de deux côtés consécutifs, puis retranchez le côté que vous connaissez. Avec un périmètre de 11/2 m et un côté de 7/4 m, la somme de deux côtés est 11/4, et 11/4 − 7/4 = 1, donc l’autre côté mesure 1 m. Si vous obtenez un côté supérieur à la moitié du périmètre, il y a une erreur dans le calcul.
Entraînez-vous avec deux rectangles
Entraînez-vous
- Calculez l’aire d’un rectangle de 7/2 m sur 2/3 m.
- Calculez son périmètre.
- Un rectangle a une aire de 5/6 m² et un côté de 5/9 m. Combien mesure l’autre côté ?
Voir les réponses
- 7/2 × 2/3 = 14/6 = 7/3 m², soit 2 1/3 m².
- 7/2 + 2/3 = 21/6 + 4/6 = 25/6, et le double est 25/3 m, soit 8 1/3 m.
- 5/6 ÷ 5/9 = 5/6 × 9/5 = 45/30 = 3/2 m.
Vérifier le résultat et poursuivre
Avant de valider une réponse, contrôlez trois points. L’aire doit être en unités carrées, le périmètre doit dépasser le plus grand côté, et le résultat doit correspondre à une estimation en décimaux. Le guide pour vérifier un résultat avec des fractions rassemble d’autres techniques. Si les mesures sont en pouces, voyez comment additionner des pouces fractionnaires. Si vous cherchez une partie d’une quantité et non une figure, utilisez fraction d’une quantité.