Zwei Rabatte hintereinander werden nicht addiert: 30 % und danach 10 % lassen den Preis bei 63/100, das sind 37 % weniger und nicht 40 %. Der zweite Rabatt wird von einem Preis berechnet, der schon gesunken ist. Deshalb multiplizierst du die Faktoren 7/10 und 9/10, statt die Prozente zu addieren. Hier siehst du die Methode, wann sich Prozente doch addieren und wie du Angebote wie 3 für 2 vergleichst. Alle Preise sind erfundene Beispiele.
Das Wichtigste
- Ein Rabatt von p % ist der Faktor 1 − p/100: Bei 25 % Rabatt ist der Faktor 3/4, bei 40 % Rabatt 3/5.
- Zwei Rabatte hintereinander multiplizieren ihre Faktoren; die Prozente werden nicht addiert.
- Die Reihenfolge der Rabatte ändert den Endpreis nicht, weil die Multiplikation von Brüchen kommutativ ist.
- Erst 50 % rauf und dann 50 % runter lässt den Preis bei 3/4 des Anfangspreises.
- Der zweite Artikel zum halben Preis spart 25 % pro Artikel, bei 3 für 2 sind es 33,3… %.
Beispiel mit Lösung: zweimal 20 % Rabatt auf 60 €
Ein Mantel für 60 € wird um 20 % reduziert, eine Woche später noch einmal um 20 %. Was kostet er am Ende, und wie hoch ist der Gesamtrabatt?
- Schreibe den Faktor jedes Rabatts. 20 % weniger lässt 1 − 1/5 = 4/5 des Preises übrig.
- Multipliziere die Faktoren. 4/5 × 4/5 = 16/25.
- Wende das Produkt auf den Preis an. 60 × 16/25 = 960/25 = 38,40 €.
- Berechne den Gesamtrabatt. 1 − 16/25 = 9/25, das sind 36 %.
Ergebnis: 38,40 €, also 36 % weniger als der Anfangspreis.
Probe: Rabatt für Rabatt werden aus 60 € erst 48 € und dann 38,40 €. Der zweite Rabatt nimmt 9,60 € weg (20 % von 48 €), nicht 12 € (20 % von 60 €).
Warum zweimal 20 % keine 40 % ergeben
Der erste Rabatt wird von 60 € berechnet, der zweite von 48 €. Weil 48 kleiner ist als 60, ist der zweite Rabatt weniger wert als der erste, und die Gesamtersparnis bleibt unter der Summe der beiden Prozentsätze. Der Prozentsatz des zweiten Rabatts ist derselbe, aber der Grundwert hat sich geändert. Darum rechnest du mit dem Preis, der übrig bleibt, und genau den misst der Faktor.
Vom Prozentsatz zum Faktor
Jeder Prozentsatz wird zu einem Faktor, der angibt, welcher Teil des Preises bezahlt wird. Einen Rabatt ziehst du von 1 ab, einen Aufschlag addierst du zu 1. Die Tabelle zeigt die gängigsten Fälle. Wenn du einen anderen Prozentsatz in einen Bruch umwandeln willst, liefert Prozent in Bruch den exakten Bruch.
| Änderung | Rechnung | Faktor |
|---|---|---|
| −10 % | 1 − 1/10 | 9/10 |
| −25 % | 1 − 1/4 | 3/4 |
| −30 % | 1 − 3/10 | 7/10 |
| +10 % | 1 + 1/10 | 11/10 |
| +50 % | 1 + 1/2 | 3/2 |
Um Änderungen zu verketten, multiplizierst du die Brüche aus der rechten Spalte und wandelst das Ergebnis erst am Ende in Prozent um. So rundest du in den Zwischenschritten nicht.
Die Reihenfolge ändert den Preis nicht
Ein Rabatt von 30 % und danach einer von 10 % ergibt 7/10 × 9/10 = 63/100. In umgekehrter Reihenfolge kommt dasselbe Produkt heraus. Der Endpreis ist 63 % des Anfangspreises, der Gesamtrabatt 37 %. Das Kommutativgesetz der Bruchmultiplikation sorgt dafür, dass jede Umstellung dieselbe Zahl liefert.
Die deutschsprachige Wikipedia beschreibt es so: Wegen der Kommutativität der Multiplikation gilt das Ergebnis auch für die umgekehrte Reihenfolge, und bei mehreren Änderungen bezieht sich jede auf einen anderen Grundwert. Dieser zweite Teil überrascht die meisten.
Um denselben Prozentsatz steigen und fallen
Steigt ein Preis von 100 € um 50 % und sinkt danach um 50 %, sind die Faktoren 3/2 und 1/2, ihr Produkt ist 3/4. Der Endpreis beträgt 75 €. Die Senkung wirkt auf 150 €, den schon erhöhten Preis, und bringt deshalb nicht zum Ausgangswert zurück.
Bei kleinen Prozentsätzen passiert dasselbe, nur fällt es weniger auf. Im Beispiel der Wikipedia steigt ein Preis von 100 € um 10 % und sinkt um 10 %: 11/10 × 9/10 = 99/100, also 99 €. Mit 200 € als Ausgangspreis wären es 198 €. Um genau zum Ausgangspunkt zurückzukommen, müssen beide Faktoren Kehrwerte voneinander sein, etwa bei 25 % rauf und 20 % runter.
Der zweite Artikel zum halben Preis und 3 für 2
Mengenangebote vergleichst du wie Rabatte: Du berechnest, welcher Bruchteil des Preises ohne Angebot bezahlt wird. Beim zweiten Artikel zum halben Preis zahlst du für zwei Artikel 1 + 1/2 = 3/2 des Preises eines Artikels, also 3/4 pro Artikel. Die Ersparnis ist 1/4, das sind 25 %. Bei 3 für 2 zahlst du 2 von 3, also 2/3, und sparst 1/3. Dieses Drittel ist eine periodische Dezimalzahl, 0,3333…, der Rabatt beträgt also 33,3… %, und jede endliche Zahl ist nur eine Näherung.
Die Tabelle vergleicht sechs Angebote für einen Artikel zu 60 €. Die letzten beiden Zeilen gelten pro Artikel, und der Vergleich ist nur fair, wenn bei allen dieselbe Stückzahl zugrunde liegt.
| Angebot | Bezahlter Bruchteil | Endpreis | Rabatt |
|---|---|---|---|
| Ein Rabatt von 40 % | 3/5 | 36,00 € | 40 % |
| Zweimal 20 % Rabatt | 16/25 | 38,40 € | 36 % |
| 30 % und dann 10 % | 63/100 | 37,80 € | 37 % |
| Ein Rabatt von 30 % | 7/10 | 42,00 € | 30 % |
| Zweiter Artikel zum halben Preis | 3/4 pro Artikel | 45,00 € pro Artikel | 25 % |
| 3 für 2 | 2/3 pro Artikel | 40,00 € pro Artikel | 33,3… % |
Der einzelne Rabatt von 40 % schlägt zweimal 20 %, weil er voll auf den ganzen Preis wirkt. Pro Artikel spart 3 für 2 mehr als der zweite Artikel zum halben Preis, verlangt aber, dass du drei kaufst. Wenn du Packungen unterschiedlicher Größe vergleichen willst, hilft der Ratgeber zum Preis pro Einheit.
Wann sich Prozente doch addieren
Prozente addieren sich, wenn alle vom selben Preis berechnet werden. Ein Etikett mit „20 % plus weitere 10 % auf den ursprünglichen Preis” beschreibt zwei Rabatte auf 60 €: 12 € und 6 €, zusammen 18 €, also 30 % weniger. Lies deshalb vor dem Multiplizieren, auf welchen Preis sich jeder Prozentsatz bezieht.
Wenn du die Steuer aus einem Endpreis herausrechnen willst, ist das eine Division; sie steht in Steuer aus einem Preis entfernen. Zwei weitere Prozentsätze, die man wegen ihres Namens verwechselt, findest du in Marge und Aufschlag. Um die Rechnung mit dem exakten Wert jedes Schritts zu prüfen, nimm den Prozentrechner; um ein Ergebnis wie 16/25 in Prozent umzuwandeln, Bruch in Prozent. Wenn du nur den Teil eines Betrags suchst, der zu einem Bruch gehört, hilft der Bruchteil einer Menge. Die Anwendungen von Brüchen sammeln weitere solche Fälle.
Übe mit drei Preisen
- Ein Buch für 90 € wird um 10 % und danach noch einmal um 10 % reduziert. Was kostet es, und wie hoch ist der Gesamtrabatt?
- Ein Preis von 100 € steigt um 25 % und sinkt dann um 20 %. Was kostet er am Ende?
- Ein Geschäft bietet T-Shirts zu je 45 € als 3 für 2 an. Was kostet jedes T-Shirt, wenn du drei kaufst?
Lösungen anzeigen
- Jeder Rabatt multipliziert mit 0,9, und 0,9 × 0,9 = 0,81, also 90 × 81/100 = 72,90 €. Der Gesamtrabatt beträgt 19 %.
- Die Faktoren sind 5/4 und 4/5; sie heben sich auf, der Preis ist wieder 100 €.
- Du zahlst 2/3 des Gesamtpreises: 45 × 2/3 = 30 € pro T-Shirt.
Quellen
- Wikipedia (deutsch), Prozentrechnung: Abschnitt zur Grundwertänderung bei Sequenzen, mit dem Beispiel 100 € erst +10 %, dann −10 % (99 €) und der Aussage, dass die umgekehrte Reihenfolge wegen der Kommutativität der Multiplikation dasselbe ergibt (abgerufen am 17. Oktober 2026).