Due sconti successivi del 20% non equivalgono a uno sconto del 40%: lo sconto reale è del 36%. Ogni ribasso si applica al prezzo che resta, quindi i fattori si moltiplicano: 4/5 × 4/5 = 16/25 = 0,64. Il prezzo finale è il 64% di quello iniziale e il risparmio, il 36%.
In una catena, la seconda percentuale si calcola sul prezzo rimasto, non su quello originale; questo dettaglio cambia tutto. La calcolatrice di percentuali verifica ogni passaggio con il valore esatto, e questo articolo usa le frazioni perché nessuna uguaglianza dipenda da un arrotondamento. Tutti i prezzi sono esempi ipotetici.
L’essenziale
- Uno sconto del
p%si scrive come il fattore1 − p/100: il 20% è 4/5 e il 25% è 3/4. - Due ribassi successivi moltiplicano i loro fattori: 4/5 × 4/5 = 16/25.
- Poiché 16/25 = 0,64, lo sconto totale è del 36%, non del 40%.
- L’ordine degli sconti non cambia il prezzo finale, perché la moltiplicazione delle frazioni è commutativa.
- Salire del 50% e poi scendere del 50% lascia il prezzo a 3/4, cioè al 25% in meno.
- Il secondo articolo a metà prezzo equivale a uno sconto del 25% per articolo comprandone due.
- L’offerta 3 per 2 fa pagare 2/3, cioè il 33,3…% in meno.
Verdetto rapido per la tua situazione
- Se esiti tra due ribassi del 20% e uno unico del 40%, vince quello del 40%: su 60 € lascia 36,00 € contro 38,40 €.
- Se il negozio annuncia il secondo articolo a metà prezzo, il risparmio per articolo è del 25%, non del 50%.
- Se l’offerta è 3 per 2, paghi 2/3 del prezzo: il 33,3…% in meno per articolo.
- Se ti serve una decisione esatta, moltiplica i fattori e confronta le frazioni prima di arrotondare ai centesimi.
Come si calcolano gli sconti successivi?
Gli sconti successivi si calcolano moltiplicando il fattore di ogni ribasso. Uno sconto del 20% lascia il prezzo a 4/5 del suo valore; applicarlo due volte dà 4/5 × 4/5 = 16/25 = 0,64, quindi si paga il 64% e lo sconto totale è del 36%.
Il fattore di uno sconto è sempre minore di 1, perché il prezzo scende; incatenare due ribassi moltiplica due numeri minori di 1. La percentuale, invece, non si moltiplica: 20% × 20% non significa nulla. Ciò che si moltiplica è il prezzo.
4/5 × 4/5 = 16/25 = 0,64; risparmio 1 − 16/25 = 9/25 = 36%.
Il modello ad area si legge direttamente: il quadrato intero è il prezzo iniziale. Togliere 1/5 delle righe è il primo ribasso del 20%, e togliere 1/5 delle colonne è il secondo. L’angolo tolto due volte non si conta due volte, quindi restano 16 celle e non 15. Quel 16/25 è la frazione esatta pagata, e la moltiplicazione di frazioni è l’operazione che la produce.
L’errore di sommare le percentuali
Un errore frequente è sommare le percentuali: 20% + 20% = 40%. Questa somma descrive due ribassi applicati separatamente al prezzo originale, non una catena. In una catena, il secondo ribasso si calcola sul prezzo già ridotto, più piccolo, e perciò il risparmio reale è un po’ inferiore alla somma.
1 − 16/25 = 9/25 = 36%.
Con un prezzo di esempio di 60 €, la differenza è visibile: il metodo sbagliato dice che il prezzo scende del 40%, fino a 36,00 €, mentre quello giusto dà 60 € × 16/25 = 38,40 €. I 2,40 € di differenza vengono dal secondo ribasso, che agisce su 48 € e non su 60 €.
Come si trasforma ogni percentuale in un fattore?
Ogni percentuale diventa un fattore sommando o sottraendo la sua frazione all’unità. Uno sconto si sottrae (1 − p/100) e un aumento si somma (1 + p/100). Il fattore è la frazione del prezzo pagata dopo la variazione. Una percentuale è un rapporto per cento, un rapporto con denominatore 100, e quindi si traduce in frazione senza approssimazione.
| Variazione | Calcolo del fattore | Fattore |
|---|---|---|
| −10% | 1 − 1/10 | 9/10 |
| −20% | 1 − 1/5 | 4/5 |
| −25% | 1 − 1/4 | 3/4 |
| −30% | 1 − 3/10 | 7/10 |
| −40% | 1 − 2/5 | 3/5 |
| +20% | 1 + 1/5 | 6/5 |
| +50% | 1 + 1/2 | 3/2 |
La tabella permette di incatenare le variazioni senza percentuali intermedie. Per passare da una percentuale alla sua frazione esatta si usa percentuale in frazione, e per il percorso inverso, frazione in percentuale. Così, 16/25 = 64/100 = 64%, e lo sconto è 100% − 64% = 36%.
I fattori si leggono anche come una scala di prezzi. Partendo da 100, ogni ribasso del 20% moltiplica per 4/5:
100 × 16/25 = 64; il prezzo cala del 36%.
Verdetto: per confrontare offerte incatenate, il fattore è più affidabile della somma delle percentuali, perché conserva il risultato esatto a ogni passo.
L’ordine degli sconti conta?
No. L’ordine di due sconti non cambia il prezzo finale, perché moltiplicare le frazioni è commutativo: a/b × c/d = c/d × a/b. Applicare −30% e poi −10% dà 7/10 × 9/10 = 63/100; al contrario, 9/10 × 7/10 = 63/100. Si paga il 63% e lo sconto totale è del 37%.
Questa proprietà permette di riordinare i fattori senza problemi. Ciò che non si può fare è sostituire un prodotto con una somma: 63/100 non è 30% + 10%. Il confronto di frazioni stabilisce quale di due risultati è maggiore dell’altro quando le catene non coincidono.
Salire del 50% e scendere del 50% non torna al prezzo iniziale
Un aumento del 50% seguito da un ribasso del 50% non si compensano. I loro fattori sono 3/2 e 1/2, e il prodotto è 3/2 × 1/2 = 3/4: il prezzo finale è il 75% dell’iniziale, cioè il 25% in meno. Partendo da 100: 100 × 3/2 = 150, e 150 × 1/2 = 75.
Il motivo è che il ribasso del 50% si applica a 150, non a 100. Per tornare al prezzo di partenza, le due variazioni dovrebbero essere reciproche: salire del 25% (5/4) e scendere del 20% (4/5) lasciano il prezzo uguale, perché 5/4 × 4/5 = 1. Le percentuali non sono simmetriche: +50% e −50% non è un andata e ritorno.
Secondo articolo a metà prezzo e altre offerte
Le offerte sulla quantità si esprimono spesso come ribassi, ma la percentuale di risparmio non è quella che sembra. Il secondo articolo a metà prezzo non è uno sconto totale del 50%, e il 3 per 2 non equivale a metà prezzo. Per confrontarle con gli sconti percentuali bisogna scrivere il prezzo pagato come frazione del prezzo senza offerta.
Quanto si risparmia per articolo con il secondo a metà prezzo?
Con il secondo articolo a metà prezzo si paga 1 + 1/2 = 3/2 del prezzo di un articolo per portarne via due, quindi ciascuno costa 3/2 ÷ 2 = 3/4. Il risparmio per articolo è 1 − 3/4 = 1/4, cioè il 25%. Su un prezzo di esempio di 60 €, due articoli costerebbero 120 € e se ne pagano 90 €, cioè 45,00 € per articolo.
Tre per due: paghi 2/3 e risparmi il 33,3…%
Nell’offerta 3 per 2 si prendono tre articoli e se ne pagano due, quindi si paga 2/3 e il risparmio è 1 − 2/3 = 1/3. Quel terzo non è un decimale esatto: 1/3 = 0,3333…, e lo sconto è del 33,3…%, non esattamente del 33,3%. Su un prezzo di esempio di 60 €, tre articoli costerebbero 180 € e se ne pagano 120 €, cioè 40,00 € per articolo.
pagare 2/3 → 33,3…% in meno · pagare 3/4 → 25% in meno · pagare 7/10 → 30% in meno.
Verdetto: se l’obiettivo è il prezzo più basso per articolo, il 3 per 2 (33,3…% di risparmio) batte il secondo articolo a metà prezzo (25%).
Quale offerta è migliore con un prezzo di 60 €?
Con un prezzo di riferimento ipotetico di 60 €, le offerte si ordinano per prezzo finale. La tabella usa frazioni esatte e lascia l’arrotondamento ai centesimi alla fine.
| Offerta | Fattore | Frazione | Prezzo finale | Sconto |
|---|---|---|---|---|
| Due ribassi del 20% | 4/5 × 4/5 | 16/25 | 38,40 € | 36% |
| Un ribasso del 40% | 3/5 | 3/5 | 36,00 € | 40% |
| Un ribasso del 30% | 7/10 | 7/10 | 42,00 € | 30% |
| −30% e poi −10% | 7/10 × 9/10 | 63/100 | 37,80 € | 37% |
| Secondo articolo a metà (2 articoli) | (1 + 1/2) ÷ 2 | 3/4 per articolo | 45,00 €/articolo | 25% |
| 3 per 2 (3 articoli) | 2/3 | 2/3 | 40,00 €/articolo | 33,3…% |
Nelle ultime due righe il prezzo finale è per articolo: con il secondo a metà prezzo si pagano 90,00 € per due, e con il 3 per 2, 120,00 € per tre. Il confronto giusto è sempre per articolo o per lo stesso numero di articoli; la guida sul prezzo per unità sviluppa il metodo generale.
L’ordine della tabella mostra un’idea controintuitiva: due ribassi del 20% (36%) stanno sotto un solo ribasso del 40%. Il ribasso forte agisce una volta sul prezzo intero, mentre la catena distribuisce l’effetto in due passi con una base sempre più piccola. Verdetto: con questi numeri, il ribasso unico del 40% è il migliore e il secondo articolo a metà prezzo è quello che risparmia meno per articolo.
Esempi risolti, dal facile al difficile
I tre esempi usano fattori e frazioni, quindi il risultato è esatto prima dell’arrotondamento.
Esempio facile: un solo ribasso del 25%
Supponi che un prezzo di 80 € scenda del 25%. Il fattore è 3/4, quindi il prezzo finale è 80 × 3/4 = 60,00 € e il risparmio, 20 €, cioè 1/4 di 80. La frazione di una quantità calcola direttamente questa operazione.
Esempio tipico: due ribassi del 20%
Un prezzo di 60 € scende del 20% e poi di un altro 20%. Passo per passo: 60 × 4/5 = 48,00 €, e 48 × 4/5 = 38,40 €. In un colpo solo: 60 × 16/25 = 960/25 = 38,40 €. Se il secondo 20% si applicasse al prezzo originale, il risultato sarebbe 60 × 3/5 = 36,00 €, un’altra offerta: per questo bisogna sempre guardare la base di ogni sconto.
Esempio con decimale periodico: uno sconto di un terzo
Un prezzo di 60 € scende di un terzo. Il fattore è 2/3 e il prezzo finale è 60 × 2/3 = 40,00 €. Lo sconto, in percentuale, è 1/3 = 33,3…%. Quel decimale non termina: 0,3333… continua all’infinito. Scrivere 1/3 = 0,333 sarebbe falso; la cosa giusta è tenere la frazione o usare 0,3333… e, se si arrotonda, scrivere 33,3% con ≈, non con =. Il risultato esatto si conserva sempre come frazione.
Prova tu: tre sfide con risposta
- Due ribassi del 10% su 90 €. Il fattore incatenato è 9/10 × 9/10 = 81/100. Il prezzo finale è 90 × 81/100 = 72,90 €, cioè il 19% in meno.
- Salire del 25% e scendere del 20% su 100 €. I fattori sono 5/4 e 4/5, e il loro prodotto è 1. Il prezzo torna a 100,00 €: le variazioni sono reciproche.
- Un 3 per 2 a 45 € per articolo. Si paga 2/3 del prezzo di tre articoli, quindi ciascuno costa 45 × 2/3 = 30,00 €.
Perché funziona moltiplicare i fattori?
Il metodo funziona perché una percentuale è un operatore che scala il prezzo. Uno sconto del 20% moltiplica per 4/5, e uno del 30% moltiplica per 7/10. Incatenare due sconti applica due scalature di seguito, e due scalature di seguito si compongono moltiplicando i loro fattori.
L’unità del sistema è il prezzo iniziale, rappresentato da 1. Il fattore del 20% è 4/5, minore di 1; quello dell’aumento del 50% è 3/2, maggiore di 1. Il prodotto di più fattori dice quante volte il prezzo iniziale viene pagato alla fine. Questa lettura si collega all’idea dello stesso intero e delle frazioni equivalenti: sostituire 4/5 × 4/5 con 16/25 scrive lo stesso prodotto in un altro modo, e la moltiplicazione è associativa.
Quando il metodo del fattore non basta?
Il metodo presuppone che ogni percentuale si applichi al prezzo rimasto. Se il secondo sconto si calcola sul prezzo originale, i fattori non si moltiplicano e le percentuali si sommano. Succede con le promozioni che annunciano “10% in più sul prezzo di listino”: lì il 10% non parte dal prezzo ridotto. Prima di moltiplicare, bisogna leggere su quale base agisce ogni sconto.
Il fattore è anche poco adatto quando la percentuale non è esatta. Uno sconto di 1/3 non si scrive come percentuale decimale finita, quindi mescolarlo con percentuali arrotondate introduce errore. Conviene tenere le frazioni e arrotondare una sola volta alla fine, ai centesimi. Inoltre il fattore confronta solo i prezzi: non considera spedizioni, minimi d’acquisto o se l’articolo extra serve davvero. Per questi casi, la calcolatrice di frazioni e la calcolatrice di percentuali permettono di rifare i calcoli con i numeri reali.
Due argomenti vicini completano l’idea. Per ricostruire il prezzo senza un’imposta, la percentuale si annulla dividendo, non sottraendo; vedi togliere l’imposta dal prezzo. E quando si confrontano margine e ricarico, due percentuali con lo stesso nome non misurano la stessa cosa; vedi margine e ricarico. I problemi di frazione del resto usano la stessa meccanica di applicare una frazione a ciò che resta dopo ogni passo. L’hub delle applicazioni raccoglie queste pagine.
In sintesi
Gli sconti successivi si riducono a una regola: trasforma ogni percentuale nel suo fattore, moltiplica i fattori e confronta le frazioni prima di arrotondare.
Domande frequenti
Perché 20% + 20% non è 40%?
Perché ogni 20% si calcola su un prezzo diverso. Il primo riduce il prezzo originale; il secondo, il prezzo già ridotto, che è più piccolo. Moltiplicare i fattori, 4/5 × 4/5 = 16/25 = 0,64, dà il risultato giusto: si paga il 64% e il risparmio è del 36%.
Come passo dalla frazione 16/25 a una percentuale?
Si amplifica la frazione fino al denominatore 100: 16/25 = 64/100 = 64%. Quel 64% è ciò che si paga, e lo sconto è 100% − 64% = 36%. La conversione da frazione a percentuale lo fa con qualsiasi denominatore.
Gli sconti si possono sommare in qualche caso?
Sì, quando entrambi si applicano alla stessa base. Se l’etichetta dice “20% + 10% sul prezzo originale”, entrambi partono dal prezzo iniziale e si sommano: 30% in tutto. Negli sconti successivi, invece, ogni percentuale parte dal prezzo rimasto e i fattori si moltiplicano.
Cosa significa 3 per 2 in percentuale?
Significa che si pagano due articoli su tre, quindi si paga 2/3 del prezzo e il risparmio è 1 − 2/3 = 1/3. Quel 1/3 è un decimale periodico: 33,3…%. Non è esattamente 33,3% né 50%, anche se l’offerta sembra regalare un articolo su tre.
Il secondo articolo a metà prezzo è uno sconto del 50%?
No. Si paga 3/2 del prezzo di un articolo per due articoli, cioè 3/4 per articolo. Il risparmio per articolo è 1 − 3/4 = 1/4, cioè il 25%. Il 50% si applica solo al secondo articolo, non all’intero acquisto.
Il metodo vale anche per gli aumenti di prezzo?
Sì. Un aumento del p% usa il fattore 1 + p/100, e più aumenti si moltiplicano come gli sconti. Un aumento del 20% e un altro del 20% danno 6/5 × 6/5 = 36/25 = 1,44, un aumento del 44%, non del 40%. Il metodo copre aumenti, ribassi e catene miste.