Dois descontos seguidos não se somam: um corte de 30% e outro de 10% deixam o preço em 63/100, ou seja, 37% a menos e não 40%. O segundo corte incide sobre um preço que já baixou, então se multiplicam os fatores 7/10 e 9/10 em vez de somar as porcentagens. Aqui estão o método, os casos em que as porcentagens se somam e como comparar ofertas como o leve 3, pague 2. Os preços são exemplos inventados.
O essencial
- Um desconto de p% se escreve como o fator 1 − p/100: 25% é 3/4 e 40% é 3/5.
- Dois cortes encadeados multiplicam seus fatores; as porcentagens não se somam.
- A ordem dos descontos não altera o preço final, porque multiplicar frações é comutativo.
- Subir 50% e depois baixar 50% deixa o preço em 3/4 do inicial.
- O segundo item com 50% de desconto economiza 25% por unidade, e o leve 3, pague 2 economiza 33,3…%.
Exemplo resolvido: dois cortes de 20% sobre R$ 60
Um casaco de R$ 60 baixa 20% e, uma semana depois, mais 20%. Quanto custa no fim e qual é o desconto total?
- Escreva o fator de cada corte. Um desconto de 20% deixa 1 − 1/5 = 4/5 do preço.
- Multiplique os fatores. 4/5 × 4/5 = 16/25.
- Aplique o produto ao preço. 60 × 16/25 = 960/25 = R$ 38,40.
- Calcule o desconto total. 1 − 16/25 = 9/25, que é 36%.
Resultado: R$ 38,40, ou seja, 36% a menos que o preço inicial.
Conferência: corte a corte, R$ 60 passam a R$ 48 e depois a R$ 38,40. O segundo corte tira R$ 9,60 (20% de R$ 48), e não R$ 12 (20% de R$ 60).
Por que 20% mais 20% não chega a 40%
O primeiro corte é calculado sobre R$ 60 e o segundo sobre R$ 48. Como 48 é menor que 60, o segundo 20% vale menos que o primeiro, e a economia total fica abaixo da soma das duas porcentagens. A porcentagem do segundo corte é a mesma, mas a base mudou. Por isso se trabalha com o preço que sobra, que é o que o fator mede.
Da porcentagem ao fator
Cada porcentagem vira um fator que diz que parte do preço é paga. Um desconto se subtrai de 1 e um aumento se soma a 1. A tabela reúne os mais comuns; para passar outra porcentagem a fração, a página de porcentagem para fração dá a fração exata.
| Variação | Cálculo | Fator |
|---|---|---|
| −10% | 1 − 1/10 | 9/10 |
| −25% | 1 − 1/4 | 3/4 |
| −30% | 1 − 3/10 | 7/10 |
| +10% | 1 + 1/10 | 11/10 |
| +50% | 1 + 1/2 | 3/2 |
Para encadear variações, basta multiplicar as frações da coluna da direita e converter o resultado em porcentagem no fim. Assim se evita arredondar nos passos intermediários.
A ordem não muda o preço
Um corte de 30% seguido de outro de 10% dá 7/10 × 9/10 = 63/100. Com a ordem invertida, sai o mesmo produto. O preço final é 63% do inicial e o desconto total, 37%. A propriedade comutativa da multiplicação de frações garante que qualquer reordenação dá o mesmo número.
Subir e baixar a mesma porcentagem
Se um preço de R$ 100 sobe 50% e depois baixa 50%, os fatores são 3/2 e 1/2, e o produto é 3/4. O preço final é R$ 75. A queda se aplica sobre R$ 150, o preço já aumentado, e por isso não devolve o valor de partida.
Com porcentagens pequenas ocorre o mesmo, embora se note menos. Um preço de R$ 200 que sobe 10% e baixa 10% passa por 11/10 × 9/10 = 99/100 e termina em R$ 198. Para voltar exatamente ao ponto de partida, os dois fatores precisam ser inversos, como os de subir 25% e baixar 20%.
O segundo item pela metade e o leve 3, pague 2
As ofertas por quantidade se comparam como os descontos: calcula-se que fração do preço sem oferta é paga. Com o segundo item a 50% do preço, pagam-se 1 + 1/2 = 3/2 do preço de uma unidade por duas unidades, ou seja, 3/4 por unidade. A economia é 1/4, isto é, 25%. No leve 3, pague 2 pagam-se 2 de cada 3, ou 2/3, e a economia é 1/3. Esse terço é uma dízima periódica, 0,3333…, então o desconto é 33,3…% e qualquer valor finito é só uma aproximação.
A tabela compara seis ofertas sobre um artigo de R$ 60. As duas últimas linhas são medidas por unidade, e a comparação só é justa se o número de unidades for o mesmo em todas.
| Oferta | Fração que se paga | Preço final | Desconto |
|---|---|---|---|
| Um corte de 40% | 3/5 | R$ 36,00 | 40% |
| Dois cortes de 20% | 16/25 | R$ 38,40 | 36% |
| 30% e depois 10% | 63/100 | R$ 37,80 | 37% |
| Um corte de 30% | 7/10 | R$ 42,00 | 30% |
| Segundo item a 50% | 3/4 por unidade | R$ 45,00 por unidade | 25% |
| Leve 3, pague 2 | 2/3 por unidade | R$ 40,00 por unidade | 33,3…% |
O corte único de 40% vence os dois de 20%, porque age inteiro sobre o preço completo. Por unidade, o leve 3, pague 2 economiza mais que o segundo item a 50%, mas exige comprar três. Para comparar embalagens de tamanhos diferentes, veja o preço por unidade.
Quando as porcentagens se somam
As porcentagens se somam quando todas são calculadas sobre o mesmo preço. Uma etiqueta que diz “20% mais 10% adicionais sobre o preço original” descreve dois descontos sobre R$ 60: R$ 12 e R$ 6, num total de R$ 18 e 30% a menos. Antes de multiplicar, confira sobre qual base age cada porcentagem.
Para tirar um imposto de um preço já final, o cálculo é uma divisão e está explicado em como remover o imposto do preço. Duas outras porcentagens que se confundem pelo nome aparecem em margem e markup. Para conferir os cálculos com o valor exato de cada passo, use a calculadora de porcentagens; para passar um resultado como 16/25 a porcentagem, a conversão de fração para porcentagem. Se só interessa a parte que corresponde a uma fração de um valor, serve a fração de uma quantidade. As aplicações das frações reúnem mais casos como este.
Pratique com três preços
- Um livro de R$ 90 baixa 10% e depois mais 10%. Quanto custa e qual é o desconto total?
- Um preço de R$ 100 sobe 25% e depois baixa 20%. Quanto custa no fim?
- Uma loja oferece leve 3, pague 2 em camisetas de R$ 45 cada. Quanto custa cada camiseta na compra de três?
Ver as respostas
- Cada corte multiplica por 0,9, e 0,9 × 0,9 = 0,81, então 90 × 81/100 = R$ 72,90. O desconto total é de 19%.
- Os fatores são 5/4 e 4/5, que se anulam, então o preço volta a R$ 100.
- Paga-se 2/3 do total: 45 × 2/3 = R$ 30 por camiseta.
Fontes
- Wikipédia, Porcentagem: a porcentagem como fração de denominador 100 (consultado em 17 de outubro de 2026).