Problemi sulla frazione del resto: cosa rimane dopo ogni spesa

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In un problema sulla frazione del resto, la seconda frazione si calcola su ciò che restava, non sul totale. Con 120 litri e «si spende 1/3 e poi 1/4 del resto», si spendono 40 e 20 e ne restano 60, la metà. Da un passo al successivo cambia la base di ogni frazione. Per altri tipi di problema, parti dai problemi con le frazioni, che dice quando moltiplicare e quando dividere.

A decidere è l’ultima parola della frase: «del resto» riduce la base, «del totale» la lascia com’era. Con la stessa frazione, il saldo finale passa da 60 a 50.

Due strade che portano allo stesso risultato

Puoi concatenare gli importi, come nei passi 1 e 2, oppure moltiplicare ciò che resta. Se si spende una frazione, resta il suo complemento: spendere un terzo lascia due terzi e spendere un quarto lascia tre quarti. Poiché ogni frazione agisce su ciò che ha lasciato la precedente, la frazione finale è il prodotto di questi complementi. La regola per moltiplicare le frazioni, numeratore per numeratore e denominatore per denominatore, è nella moltiplicazione di frazioni. Per semplificare 6/12, usa semplificare le frazioni.

Il prodotto è più breve, mentre gli importi sono più facili da controllare. Usa il prodotto per sapere quale parte resta e gli importi per vedere quanto sono in litri, euro o metri. Se il testo è confuso, disegna una barra con i passi, come spiega il modello a barre.

Se le due frazioni sono del totale, resta 5/12

Quando entrambe le frazioni si prendono dalla quantità iniziale, le spese si sommano davvero. Con 120 litri, un terzo sono 40 e un quarto sono 30, quindi si spendono 70 e ne restano 50. In frazioni, 12/12 − 4/12 − 3/12 = 5/12, e 5/12 di 120 sono 50. La sottrazione di frazioni conferma questo conto quando i denominatori sono diversi.

Trovare il totale quando conosci solo ciò che resta

Se il testo dà il saldo finale e chiede il totale, dividi per la frazione che resta. Dopo aver speso un terzo e poi un quarto del resto ne rimangono 60, che sono la metà, quindi il totale è 60 ÷ 1/2 = 120 litri. Dividere per un mezzo equivale a moltiplicare per 2. Per altri saldi, la calcolatrice per trovare l’intero da una frazione esegue questa divisione.

Per verificare, ricostruisci la catena. Un terzo di 120 sono 40 e ne restano 80. Un quarto di 80 sono 20 e ne restano 60, il dato del testo. Se devi calcolare ogni importo a parte, la frazione di una quantità lo risolve in un passo.

Tre spese di seguito

Con tre spese si moltiplicano tre complementi. Se si spende un quarto, poi un terzo del resto e infine la metà del nuovo resto, resta 3/4 × 2/3 × 1/2 = 6/24 = 1/4 del totale. Con 240 unità, ogni passo ne spende 60: da 240 si passa a 180, a 120 e a 60.

Che le tre spese siano uguali è una coincidenza di questi numeri, non una regola. Se cambi le frazioni, gli importi non coincidono più, ma il prodotto continua a dare la frazione che resta.

Fonti

Wikipedia in italiano, voce Frazione (matematica), sezione «Moltiplicazione e divisione»: per moltiplicare due frazioni si moltiplicano tra loro i numeratori e tra loro i denominatori (consultata il 17 ottobre 2026).