Problemas de fração do resto: o que sobra depois de cada gasto

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Num problema de fração do resto, a segunda fração é tirada do que sobrava, não do total. Com 120 litros e “gasta-se 1/3 e depois 1/4 do resto”, saem 40 e 20, e sobram 60, a metade. O que muda de um passo para o seguinte é a base de cada fração. Para outros tipos de problema, comece por problemas com frações resolvidos, que diz quando multiplicar e quando dividir.

A palavra que decide é a última da frase: “do resto” reduz a base, “do total” a mantém como estava. Com a mesma fração, o saldo final passa de 60 para 50.

Dois caminhos que dão o mesmo resultado

É possível encadear os valores, como nos passos 1 e 2, ou multiplicar o que sobra. Se se gasta uma fração, sobra o seu complemento: gastar um terço deixa dois terços e gastar um quarto deixa três quartos. Como cada fração age sobre o que a anterior deixou, a fração final é o produto desses complementos. A regra para multiplicar frações, numerador por numerador e denominador por denominador, está em multiplicar frações. Para simplificar 6/12, use simplificar frações.

O produto é mais curto e os valores são mais fáceis de conferir. Use o produto para saber que parte sobra e os valores para ver quanto é em litros, reais ou metros. Se o texto estiver confuso, desenhe uma barra com os passos, como explica o modelo de barras.

Se as duas frações são do total, sobram 5/12

Quando as duas frações são tiradas da quantidade inicial, os gastos de fato se somam. Com 120 litros, um terço são 40 e um quarto são 30, então se gastam 70 e sobram 50. Em frações, 12/12 − 4/12 − 3/12 = 5/12, e 5/12 de 120 são 50. A subtração de frações confirma essa conta quando os denominadores são diferentes.

Achar o total quando só se conhece o que sobra

Se o enunciado dá o saldo final e pede o total, divida pela fração que sobra. Depois de gastar um terço e depois um quarto do resto sobram 60 litros, que são a metade, então o total é 60 ÷ 1/2 = 120 litros. Dividir por um meio é multiplicar por 2. Para outros saldos, a calculadora de total a partir de uma fração faz essa divisão.

Para conferir, reconstrua a cadeia. Um terço de 120 são 40 e sobram 80. Um quarto de 80 são 20 e sobram 60, o dado do enunciado. Se for preciso calcular cada valor à parte, fração de uma quantidade resolve num passo.

Três gastos seguidos

Com três gastos, multiplicam-se três complementos. Se se gasta um quarto, depois um terço do resto e por fim a metade do novo resto, sobra 3/4 × 2/3 × 1/2 = 6/24 = 1/4 do total. Com 240 unidades, cada passo gasta 60: de 240 passa-se a 180, a 120 e a 60.

Que os três gastos sejam iguais é coincidência destes números, não uma regra. Se as frações mudarem, os valores deixam de coincidir, mas o produto continua dando a fração que sobra.

Fontes

Wikipédia em português, verbete Fração, seção “Multiplicação de Frações”: para multiplicar duas frações, basta multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si (consultado em 17 de outubro de 2026).