Problèmes de fraction du reste : ce qu’il reste après chaque dépense

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Dans un problème de fraction du reste, la seconde fraction se prend sur ce qui restait, pas sur le total. Avec 120 litres et « on dépense 1/3 puis 1/4 du reste », on dépense 40 puis 20, et il reste 60, soit la moitié. D’une étape à l’autre, c’est la base de chaque fraction qui change. Pour d’autres types de problèmes, commencez par les problèmes de fractions, qui indiquent quand multiplier et quand diviser.

Le mot qui décide est le dernier de la phrase : « du reste » réduit la base, « du total » la laisse telle quelle. Avec la même fraction, le solde final passe de 60 à 50.

Deux chemins qui donnent le même résultat

Vous pouvez enchaîner les montants, comme aux étapes 1 et 2, ou multiplier ce qui reste. Quand on dépense une fraction, il reste son complément : dépenser un tiers laisse deux tiers, et dépenser un quart laisse trois quarts. Comme chaque fraction agit sur ce qu’a laissé la précédente, la fraction finale est le produit de ces compléments. La règle pour multiplier des fractions, numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur, figure dans la multiplication de fractions. Pour simplifier 6/12, utilisez simplifier des fractions.

Le produit est plus court, et les montants sont plus faciles à vérifier. Utilisez le produit pour savoir quelle part reste, et les montants pour voir ce que cela représente en litres, en euros ou en mètres. Si l’énoncé est confus, dessinez une barre avec les étapes, comme l’explique le modèle en barres.

Si les deux fractions portent sur le total, il reste 5/12

Quand les deux fractions se prennent sur la quantité initiale, les dépenses s’additionnent bel et bien. Avec 120 litres, un tiers fait 40 et un quart fait 30 : on dépense 70 et il reste 50. En fractions, 12/12 − 4/12 − 3/12 = 5/12, et 5/12 de 120 font 50. La soustraction de fractions confirme ce calcul quand les dénominateurs sont différents.

Retrouver le total quand on ne connaît que ce qui reste

Si l’énoncé donne le solde final et demande le total, divisez par la fraction qui reste. Après avoir dépensé un tiers puis un quart du reste, il reste 60 litres, soit la moitié, donc le total est 60 ÷ 1/2 = 120 litres. Diviser par un demi revient à multiplier par 2. Pour d’autres soldes, le calcul du tout à partir d’une fraction fait cette division.

Pour vérifier, reconstituez la chaîne. Un tiers de 120, c’est 40, et il reste 80. Un quart de 80, c’est 20, et il reste 60, la donnée de l’énoncé. Si vous devez calculer chaque montant à part, la fraction d’une quantité le résout en une étape.

Trois dépenses à la suite

Avec trois dépenses, on multiplie trois compléments. Si l’on dépense un quart, puis un tiers du reste, et enfin la moitié du nouveau reste, il reste 3/4 × 2/3 × 1/2 = 6/24 = 1/4 du total. Avec 240 unités, chaque étape en dépense 60 : on passe de 240 à 180, à 120, puis à 60.

Que les trois dépenses soient égales est une coïncidence due à ces nombres, pas une règle. Si vous changez les fractions, les montants ne coïncident plus, mais le produit donne toujours la fraction qui reste.

Sources

Wikipédia en français, article Fraction (mathématiques), section « Multiplication » : le produit de deux fractions s’obtient en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, comme dans 2/3 × 4/5 = 8/15 (consulté le 17 octobre 2026).