En un problema de fracciones del resto, la segunda fracción se toma de lo que quedaba, no del total. Con 120 litros y «se gasta 1/3 y luego 1/4 del resto», salen 40 y 20, y quedan 60, la mitad. Lo que cambia de un paso al siguiente es la base de cada fracción. Para otros tipos de problema, empieza por problemas de fracciones, que dice cuándo multiplicar y cuándo dividir.
| El enunciado dice | Base del segundo gasto | Resultado |
|---|---|---|
| «un cuarto del resto» o «un cuarto de lo que queda» | Lo que quedaba: 80 | Gasta 20 y quedan 60 |
| «un cuarto del total» o «un cuarto de la cantidad inicial» | El total: 120 | Gasta 30 y quedan 50 |
La palabra que decide es la última de la frase: «del resto» reduce la base, «del total» la deja como estaba. Con la misma fracción, el saldo final cambia de 60 a 50.
Dos caminos que dan el mismo resultado
Puedes encadenar importes, como en los pasos 1 y 2, o multiplicar lo que queda. Si se gasta una fracción, queda su complemento: gastar un tercio deja dos tercios y gastar un cuarto deja tres cuartos. Como cada fracción actúa sobre lo que dejó la anterior, la fracción final es el producto de esos complementos. La regla para multiplicar fracciones, numerador por numerador y denominador por denominador, aparece en la multiplicación de fracciones. Para simplificar 6/12, usa simplificar fracciones.
El producto es más corto y los importes son más fáciles de comprobar. Usa el producto para saber qué parte queda y los importes para ver cuánto es en litros, euros o metros. Si el texto es confuso, dibuja una barra con los pasos, como explica el modelo de barras.
Ejemplo resuelto: gasta un tercio y un cuarto del resto
Un depósito tiene 120 litros. Se gasta un tercio y después un cuarto de lo que queda. ¿Cuánto queda?
- Primer gasto. Un tercio de 120 litros son 40 litros, así que quedan 80 litros.
- Cambia la base. El segundo gasto es un cuarto de 80 litros, es decir, 20 litros, y quedan 60 litros.
- Mira la fracción final. Tras el primer gasto quedan 2/3 y luego queda 3/4 de eso. Entonces 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2 del total.
- Comprueba con las cantidades. La mitad de 120 litros son 60 litros, igual que en el paso 2.
Resultado. Quedan 60 litros, la mitad del depósito.
Comprobación. Se gastaron 40 + 20 = 60 litros y quedan 60, que juntos suman los 120 del principio.
Si las dos fracciones son del total, queda 5/12
Cuando las dos fracciones se toman de la cantidad inicial, los gastos sí se suman. Con 120 litros, un tercio son 40 y un cuarto son 30, así que se gastan 70 y quedan 50. En fracciones, 12/12 − 4/12 − 3/12 = 5/12, y 5/12 de 120 son 50. La resta de fracciones confirma esa cuenta cuando los denominadores son distintos.
Hallar el total cuando solo conoces lo que queda
Si el enunciado da el saldo final y pide el total, divide entre la fracción que queda. Tras gastar un tercio y luego un cuarto del resto quedan 60 litros, que son la mitad, así que el total es 60 ÷ 1/2 = 120 litros. Dividir entre un medio es multiplicar por 2. Para otros saldos, la calculadora de total a partir de una fracción hace esa división.
Para comprobar, reconstruye la cadena. Un tercio de 120 son 40 y quedan 80. Un cuarto de 80 son 20 y quedan 60, el dato del enunciado. Si hay que calcular cada importe aparte, fracción de una cantidad lo resuelve en un paso.
Tres gastos seguidos
Con tres gastos se multiplican tres complementos. Si se gasta un cuarto, después un tercio del resto y por último la mitad del nuevo resto, queda 3/4 × 2/3 × 1/2 = 6/24 = 1/4 del total. Con 240 unidades, cada paso gasta 60: de 240 se pasa a 180, a 120 y a 60.
Que los tres gastos sean iguales es una coincidencia de estos números, no una regla. Si cambias las fracciones, los importes dejan de coincidir, pero el producto sigue dando la fracción que queda.
Practica
- De 90 unidades se gasta un tercio y después la mitad del resto. ¿Cuántas quedan?
- Tras gastar un cuarto y luego un tercio del resto quedan 18 unidades. ¿Cuál era el total?
- Se gasta 3/8 y después 2/5 del resto. ¿Qué fracción del total queda?
Ver las respuestas
- Quedan 30. Un tercio de 90 son 30 y quedan 60; la mitad de 60 son 30 y quedan 30.
- El total era 36. Queda la mitad, porque 3/4 × 2/3 = 6/12, y 18 × 2 = 36. Comprobación: un cuarto de 36 son 9 y quedan 27, un tercio de 27 son 9 y quedan 18.
- Queda 3/8. Es 5/8 × 3/5 = 15/40 = 3/8.
Fuentes
Wikipedia en español, artículo Fracción, sección «Multiplicación y división de fracciones»: para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores por un lado y los denominadores por otro (consultado el 16 de octubre de 2026).