In einer Aufgabe zum Bruch des Restes bezieht sich der zweite Bruch auf das, was übrig war, nicht auf das Ganze. Bei 120 Litern und „1/3 entnehmen, dann 1/4 des Restes“ sind es 40 und 20 Liter, und es bleiben 60, also die Hälfte. Von einem Schritt zum nächsten ändert sich die Grundlage jedes Bruchs. Für andere Aufgabentypen beginnst du bei den Sachaufgaben mit Brüchen; dort steht, wann du multiplizierst und wann du dividierst.
| Im Text steht | Grundlage der zweiten Entnahme | Ergebnis |
|---|---|---|
| „ein Viertel des Restes“ oder „ein Viertel von dem, was übrig ist“ | Was übrig war: 80 | 20 werden entnommen, 60 bleiben |
| „ein Viertel des Ganzen“ oder „ein Viertel der Anfangsmenge“ | Das Ganze: 120 | 30 werden entnommen, 50 bleiben |
Entscheidend sind die letzten Worte des Satzes: „des Restes“ verkleinert die Grundlage, „des Ganzen“ lässt sie, wie sie war. Mit demselben Bruch ändert sich der Endbestand von 60 auf 50.
Zwei Wege, die zum selben Ergebnis führen
Du kannst die Beträge der Reihe nach berechnen, wie in den Schritten 1 und 2, oder den Bruch multiplizieren, der übrig bleibt. Wird ein Bruch entnommen, bleibt sein Komplement: Entnimmst du ein Drittel, bleiben zwei Drittel, entnimmst du ein Viertel, bleiben drei Viertel. Weil jeder Bruch auf das wirkt, was der vorherige übrig ließ, ist der Endbruch das Produkt dieser Komplemente. Die Regel zum Multiplizieren von Brüchen, Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, steht bei Brüche multiplizieren. Um 6/12 zu kürzen, nutze Brüche kürzen.
Das Produkt ist kürzer, die Beträge lassen sich leichter prüfen. Mit dem Produkt weißt du, welcher Teil übrig bleibt, mit den Beträgen siehst du, wie viel das in Litern, Euro oder Metern ist. Ist der Text unklar, zeichne einen Streifen mit den Schritten, wie es das Streifenmodell erklärt.
Beispiel: ein Drittel und dann ein Viertel des Restes entnehmen
Ein Tank enthält 120 Liter. Es wird ein Drittel entnommen und danach ein Viertel von dem, was übrig ist. Wie viel bleibt?
- Erste Entnahme. Ein Drittel von 120 Litern sind 40 Liter, also bleiben 80 Liter.
- Die Grundlage ändert sich. Die zweite Entnahme ist ein Viertel von 80 Litern, also 20 Liter, und es bleiben 60 Liter.
- Betrachte den Endbruch. Nach der ersten Entnahme bleiben 2/3, und davon bleiben 3/4. Also ist 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2 des Ganzen.
- Prüfe mit den Mengen. Die Hälfte von 120 Litern sind 60 Liter, genau wie in Schritt 2.
Ergebnis. Es bleiben 60 Liter, die Hälfte des Tanks.
Probe. Entnommen wurden 40 + 20 = 60 Liter, und es bleiben 60; zusammen sind das die 120 vom Anfang.
Wenn beide Brüche vom Ganzen sind, bleibt 5/12
Werden beide Brüche von der Anfangsmenge genommen, addieren sich die Entnahmen tatsächlich. Bei 120 Litern sind ein Drittel 40 und ein Viertel 30, also werden 70 entnommen und 50 bleiben. In Brüchen: 12/12 − 4/12 − 3/12 = 5/12, und 5/12 von 120 sind 50. Das Subtrahieren von Brüchen bestätigt diese Rechnung, wenn die Nenner verschieden sind.
Das Ganze finden, wenn du nur den Rest kennst
Nennt der Text den Endbestand und fragt nach dem Ganzen, teile durch den Bruch, der übrig bleibt. Nach einem Drittel und dann einem Viertel des Restes bleiben 60 Liter, also die Hälfte; das Ganze ist 60 ÷ 1/2 = 120 Liter. Das Teilen durch 1/2 heißt, mit 2 zu multiplizieren. Für andere Endbestände rechnet der Rechner für das Ganze aus einem Bruchteil diese Division.
Zur Probe baust du die Kette wieder auf. Ein Drittel von 120 sind 40, und 80 bleiben. Ein Viertel von 80 sind 20, und 60 bleiben, die Angabe aus dem Text. Musst du jeden Betrag einzeln berechnen, löst der Bruchteil einer Menge das in einem Schritt.
Drei Entnahmen hintereinander
Bei drei Entnahmen multiplizierst du drei Komplemente. Wird erst ein Viertel entnommen, dann ein Drittel des Restes und zuletzt die Hälfte des neuen Restes, bleiben 3/4 × 2/3 × 1/2 = 6/24 = 1/4 des Ganzen. Bei 240 Einheiten werden in jedem Schritt 60 entnommen: von 240 geht es auf 180, auf 120 und auf 60.
Dass alle drei Entnahmen gleich groß sind, ist ein Zufall dieser Zahlen und keine Regel. Änderst du die Brüche, stimmen die Beträge nicht mehr überein, aber das Produkt liefert weiterhin den Bruch, der übrig bleibt.
Übe
- Von 90 Einheiten wird ein Drittel entnommen und danach die Hälfte des Restes. Wie viele bleiben?
- Nach einem Viertel und dann einem Drittel des Restes bleiben 18 Einheiten. Wie groß war das Ganze?
- Es werden 3/8 und danach 2/5 des Restes entnommen. Welcher Bruch des Ganzen bleibt?
Lösungen anzeigen
- Es bleiben 30. Ein Drittel von 90 sind 30, und 60 bleiben; die Hälfte von 60 sind 30, und 30 bleiben.
- Das Ganze war 36. Es bleibt die Hälfte, denn 3/4 × 2/3 = 6/12, und 18 × 2 = 36. Probe: Ein Viertel von 36 sind 9, und 27 bleiben; ein Drittel von 27 sind 9, und 18 bleiben.
- Es bleiben 3/8. Es gilt 5/8 × 3/5 = 15/40 = 3/8.
Quellen
Deutschsprachige Wikipedia, Artikel Bruchrechnung, Abschnitt zur Multiplikation von Brüchen.