Comment le résoudre
- Écrivez quelle fraction du total représente la quantité connue.
- Divisez la quantité par le numérateur : vous obtenez une part.
- Multipliez cette part par le dénominateur : vous obtenez le total.
- Vérifiez en calculant la fraction du total.
14 ÷ 2 = 7
7 × 3 = 21
Résultat: 21
Erreur fréquente:Faux: 18 × 3/5 = 54/5.Juste: 18 ÷ 3/5 = 30.Si 3/5 du total vaut 18, le total est plus grand que 18. Multiplier 18 par 3/5 donne un nombre plus petit ; il faut diviser.
Saisissez la partie dans « Quantité connue » et la fraction dans « Fraction connue » ; vous pouvez ajouter une unité, qui est reportée sur le tout. Avec 18 comme partie et trois cinquièmes comme fraction, le résultat est 30 et la vérification apparaît dessous. Entiers, fractions, décimaux finis et nombres mixtes sont acceptés. Si vous cherchez la partie, utilisez fraction d’une quantité ; si vous cherchez la fraction, quelle fraction représente une quantité.
Exemple résolu : la capacité d’un réservoir
Un réservoir contient 18 litres, ce qui représente les 3/5 de sa capacité. Quelle est la capacité totale ?
- Repérez les données. Les 18 litres sont ce qu’il y a dans le réservoir ; la capacité totale est ce qu’on cherche.
- Cherchez la valeur d’un cinquième. Trois cinquièmes valent 18, donc chaque cinquième vaut 18 ÷ 3 = 6 litres.
- Comptez tous les cinquièmes. Le réservoir plein, ce sont 5 cinquièmes, soit 5 × 6 = 30 litres.
- Écrivez-le en une seule opération. 18 ÷ 3/5 = 18 × 5/3 = 90/3 = 30.
Le résultat est 30 litres.
Vérification. Les 3/5 de 30 font 18, la quantité de départ. De plus, 30 est supérieur à 18, comme il se doit pour une fraction inférieure à 1.
18 ÷ 3 = 6 par cinquième ; 6 × 5 = 30
Pourquoi on divise par la fraction
La relation de départ est partie = fraction × tout. Pour isoler le tout, il faut défaire cette multiplication, et la défaire, c’est diviser par la fraction. Diviser par la fraction revient à multiplier par son inverse, 5/3, car le produit des deux vaut 1. Pour en savoir plus, voir l’article Fraction (mathématiques) de Wikipédia.
La division donne le tout, et la multiplication inverse le vérifie. Si le tout obtenu ne redonne pas la partie une fois multiplié par la fraction, une donnée a été inversée.
Que cherchez-vous : la partie, la fraction ou le tout
Les trois problèmes utilisent les mêmes trois nombres, mais chacun laisse une donnée en blanc. Décidez d’abord laquelle vous ne connaissez pas, puis choisissez l’opération.
| Ce que vous cherchez | Opération | Exemple |
|---|---|---|
| La partie | Multiplier le tout par la fraction | 5/8 de 80 = 50 |
| La fraction | Diviser la partie par le tout | 50 sur 80 = 5/8 |
| Le tout | Diviser la partie par la fraction | 50 ÷ 5/8 = 80 |
Cette page résout la dernière ligne. La première relève de fraction d’une quantité et la deuxième de quelle fraction représente une quantité.
Un raccourci voisin échoue de la même façon. Multiplier seulement par le dénominateur ne donne le tout que si le numérateur vaut 1. Avec 2/7, il faut d’abord diviser par 2.
Les cas qui changent la mise en équation
La méthode est toujours la même, mais l’énoncé cache parfois quelle est la fraction. Le tableau réunit les cas qui prêtent le plus à confusion et ce qu’il faut écrire dans chacun.
| Cas | Calcul | Tout |
|---|---|---|
| Donnée directe | 28 sont les 2/7 du tout : 28 ÷ 2/7 | 98 |
| Donnée qui reste | Vous dépensez 1/4 et il reste 24 : 24 ÷ 3/4 | 32 |
| Fraction supérieure à 1 | 15 sont les 5/4 du tout : 15 ÷ 5/4 | 12 |
| Résultat non entier | 10 sont les 4/7 du tout : 10 ÷ 4/7 | 35/2, soit 17,5 (ou 17 + 1/2) |
| Pourcentage | 25 % valent 40, et 25 % = 1/4 : 40 ÷ 1/4 | 160 |
Dans le deuxième cas, la fraction à écrire est celle qui reste, 1 − 1/4 = 3/4, et non celle qui a été dépensée. Dans le troisième, la partie dépasse le tout parce qu’on la compare à une référence plus petite. Le quatrième ne tombe pas juste et la calculatrice le laisse sous forme de fraction ; un décimal arrondi ne serait qu’une approximation, et fraction en décimal montre toutes ses décimales. Pour le dernier, la calculatrice de pourcentages fait le même calcul avec le pourcentage saisi directement.
Où ce calcul apparaît
Presque tous les problèmes de ce type donnent une partie et demandent de retrouver le tout : une offre dont vous connaissez le montant payé, un livre dont vous savez combien de pages ont été lues, un groupe dont vous connaissez l’effectif d’une catégorie. Quand l’énoncé dit « les 120 sont les 2/5 », il s’agit de ce calcul, avec 120 ÷ 2/5 = 300. Si le problème enchaîne plusieurs dépenses ou partages, le guide des problèmes de fraction du reste apprend à le ramener à une seule fraction, et problèmes de fractions corrigés rassemble d’autres énoncés pour s’exercer.
Pour diviser une fraction par un nombre entier, qui est un autre problème, utilisez diviser des fractions. Une fraction égale à 0 ne convient pas ici : aucun tout ne la transforme en une partie non nulle, et la calculatrice la refuse.
Sources
Wikipédia en français, article Fraction (mathématiques).
Questions fréquentes
Puis-je écrire la fraction sous forme décimale ?
Oui, à condition que le décimal soit fini. Saisissez 0,25 au lieu de 1/4 et la partie 7 : le résultat est 28, le même qu’avec la fraction. Si le décimal a des chiffres qui se répètent, comme 0,333…, utilisez la fraction 1/3, car un décimal arrondi changerait le tout.
Comment résoudre un problème avec deux dépenses successives ?
Calculez quelle fraction du tout reste après les deux dépenses. Si vous dépensez la moitié, puis un tiers de ce qui reste, il reste 1/2 × 2/3 = 1/3 du tout. Avec 20 restants, le tout est 20 ÷ 1/3 = 60. Le guide des problèmes de fraction du reste traite d’autres cas.
Que faire si la partie est donnée en heures et minutes ?
Convertissez-la d’abord dans une seule unité. Si 1 h 30 min sont les 3/8 d’une journée de travail, saisissez 90 minutes comme partie et vous obtenez 240 minutes, soit 4 heures. Pour convertir des fractions d’heure, utilisez fraction d’heure en minutes.