Ein Bruch einer Menge vergleicht, wie viele Objekte eine Bedingung erfüllen, mit der Gesamtzahl der Objekte. Stell dir ein Brett mit 20 Karten vor, von denen 5 markiert sind. Diese fünf bilden 5/20 des Bretts, gekürzt ein Viertel. Der Zähler zählt die markierten Karten, der Nenner alle Karten.
Das Ganze: 20 Karten
Ausgewählter Teil: 5 markierte Karten
Hier zählt jedes Objekt als eine Einheit. Eine große und eine kleine Karte zählen gleich, deshalb sagt der Bruch etwas über die Anzahl der Karten aus und nicht über die Fläche, die sie einnehmen. Ginge es um Fläche oder Gewicht, müsstest du diese Größen messen, statt zu zählen. Lege vor dem Schreiben fest, was das Ganze ist und welche Bedingung den Teil auswählt.
Die Birnen sind nicht verschwunden, geändert hat sich das Ganze. Ein Bruch einer Menge beschreibt eine Beziehung zu einem bestimmten Ganzen. Sag deshalb immer dazu: „von der Kiste jetzt“ oder „von der ursprünglichen Kiste“.
Wie viele Objekte entsprechen einem Bruch?
Kennst du den Bruch und die Gesamtzahl, teilst du die Gesamtzahl in gleiche Gruppen und nimmst so viele, wie der Zähler angibt. Sind 2/5 von 30 Perlen grün, hat jedes Fünftel 30 : 5 = 6 Perlen, und zwei Fünftel haben 2 × 6 = 12. Der Rechner Bruchteil einer Menge führt dieselbe Rechnung als Produkt aus, 2/5 × 30.
Zählst du ganze Stücke, muss das Ergebnis eine ganze Anzahl von Objekten sein. Kommen 2,5 Murmeln heraus, prüfe die Aufgabe: Vielleicht ist der Bruch nur ungefähr gemeint, die Gesamtzahl eine andere, oder es geht um eine Messgröße statt um eine Anzahl. Ein Bruch größer als 1 kann eine Menge vervielfachen, aber nicht der Teil einer einzelnen Menge sein, denn es gibt nicht mehr ausgewählte Objekte als Objekte in der Menge.
Gerechnetes Beispiel: Birnen in einer Obstkiste
In einer Kiste liegen 18 Früchte, 6 davon sind Birnen. Welcher Bruchteil der Kiste sind Birnen? Wie ändert er sich, wenn 6 Äpfel dazukommen?
- Zähle das Ganze. Die Kiste enthält 18 Früchte; das wird der Nenner.
- Zähle den Teil. Es gibt 6 Birnen; das wird der Zähler.
- Schreibe und kürze. 6/18 wird durch 6 in Zähler und Nenner zu 1/3.
- Ändere das Ganze. Mit 6 Äpfeln mehr sind es 24 Früchte, und dieselben Birnen sind 6/24 = 1/4.
Ergebnis. Die Birnen sind 1/3 der Kiste, nach dem Hinzufügen der Äpfel 1/4.
Probe. 1/3 von 18 ist 6, und 1/4 von 24 ist ebenfalls 6. Beide Brüche beschreiben also dieselben sechs Birnen.
Teil-Ganzes und Teil-Teil
In einem Korb liegen 3 rote und 7 blaue Kugeln. Die roten sind 3/10 des Ganzen, und das Verhältnis von Rot zu Blau ist 3 : 7. Der erste Wert hat die Gesamtzahl als Nenner. Der zweite vergleicht zwei Gruppen miteinander und ist kein Bruch des Korbs. Um von einem Verhältnis zu einem Bruch des Ganzen zu kommen, addiere zuerst die Gruppen: 3 + 7 = 10. Das Werkzeug Welcher Bruchteil? bildet den Quotienten aus Teil und Ganzem, und Verhältnis in Bruch wandelt eine Beziehung zwischen zwei Gruppen um.
Gehören Objekte zu zwei Kategorien zugleich, zähle jedes nur einmal, bevor du den Bruch bildest. Wie dieselbe Zahl als Teil, Quotient, Maß, Operator und Verhältnis gedeutet werden kann, steht unter Bedeutungen eines Bruchs.
Übung
Zum Üben zählst du die Objekte einer eigenen Sammlung, änderst das Ganze, ohne den Teil zu ändern, und beobachtest, wie sich der Bruch bewegt. Die grafische Darstellung lässt dich Mengen neben anderen Modellen erkunden. Mehr Bilder und Mengen findest du unter Brüche zeichnen.