Una frazione di un insieme confronta quanti oggetti soddisfano una condizione con quanti oggetti ci sono in tutto. Immagina un cartellone con 20 cartoncini, di cui 5 segnati. Quei cinque formano 5/20 del cartellone, che si semplifica in 1/4. Il numeratore conta i cartoncini segnati e il denominatore conta tutti i cartoncini.
Insieme: 20 cartoncini
Parte scelta: 5 cartoncini segnati
Qui ogni oggetto vale un’unità. Un cartoncino grande e uno piccolo contano allo stesso modo, quindi 1/4 parla del numero di cartoncini e non della superficie che occupano. Se la domanda riguardasse l’area o il peso, dovresti misurare quelle grandezze invece di contare. Prima di scrivere qualsiasi cosa, decidi qual è il tutto e quale condizione sceglie la parte.
Nell’esempio della cassetta le pere non sono sparite: è cambiato il tutto. Una frazione di un insieme descrive un rapporto con un tutto preciso, per questo conviene dire sempre «della cassetta di adesso» o «della cassetta di partenza».
Trovare quanti oggetti corrispondono a una frazione
Quando conosci la frazione e il totale, dividi il totale in gruppi uguali e prendi quelli indicati dal numeratore. Se 2/5 di 30 perline sono verdi, ogni quinto contiene 30 ÷ 5 = 6 perline e due quinti ne contengono 2 × 6 = 12. La calcolatrice della frazione di una quantità esegue la stessa operazione come prodotto, 2/5 × 30.
Quando conti pezzi interi, la risposta deve essere un numero intero di oggetti. Se ottieni 2,5 biglie, rivedi il testo: la frazione potrebbe essere approssimata, il totale potrebbe essere un altro o il problema potrebbe parlare di una misura e non di un conteggio. Una frazione maggiore di 1 può moltiplicare una quantità, ma non può essere la parte di un unico insieme, perché non ci sono più oggetti scelti che oggetti nell’insieme.
Esempio svolto: pere in una cassetta di frutta
In una cassetta ci sono 18 frutti e 6 sono pere. Che frazione della cassetta sono le pere? Quanto cambia se aggiungi 6 mele?
- Conta il totale. La cassetta ha 18 frutti, che saranno il denominatore.
- Conta la parte. Ci sono 6 pere, che saranno il numeratore.
- Scrivi e semplifica. 6/18 si divide per 6 sopra e sotto e diventa 1/3.
- Cambia il tutto. Con 6 mele in più i frutti sono 24 e le stesse pere sono 6/24 = 1/4.
Risultato. Le pere sono 1/3 della cassetta, e 1/4 dopo aver aggiunto le mele.
Verifica. 1/3 di 18 è 6 e anche 1/4 di 24 è 6, quindi le due frazioni descrivono le stesse sei pere.
Parte-tutto e parte-parte
In un cestino ci sono 3 palline rosse e 7 blu. Le rosse sono 3/10 del totale e il rapporto tra rosse e blu è 3 : 7. La prima usa il totale come denominatore. Il secondo confronta due gruppi tra loro e non è una frazione del cestino. Per passare da un rapporto a una frazione del totale, somma prima i gruppi: 3 + 7 = 10. Lo strumento quale frazione rappresenta una quantità calcola il quoziente tra parte e totale, mentre da rapporto a frazione converte una relazione tra due gruppi.
Se gli oggetti appartengono a due categorie insieme, contali una sola volta prima di formare la frazione. Per vedere lo stesso numero come parte, quoziente, misura, operatore e rapporto, leggi i significati di una frazione.
Pratica
Per esercitarti, conta gli oggetti di una raccolta tua, cambia il totale senza cambiare la parte e osserva come si muove la frazione. La rappresentazione grafica permette di esplorare gli insiemi accanto ad altri modelli.