Une fraction d’un ensemble compare le nombre d’objets qui remplissent une condition au nombre total d’objets. Imaginez un tableau de 20 cartes, dont 5 portent une marque. Ces cinq cartes forment 5/20 du tableau, ce qui se simplifie en 1/4. Le numérateur compte les cartes marquées et le dénominateur compte toutes les cartes.
Ensemble : 20 cartes
Partie choisie : 5 cartes marquées
Ici, chaque objet vaut une unité. Une grande carte et une petite carte comptent autant, donc 1/4 parle du nombre de cartes et non de la surface qu’elles occupent. Si la question portait sur l’aire ou la masse, il faudrait mesurer ces grandeurs au lieu de compter. Avant d’écrire quoi que ce soit, décidez quel est le tout et quelle condition choisit la partie.
Dans l’exemple de la caisse, les poires n’ont pas disparu : c’est le tout qui a changé. Une fraction d’un ensemble décrit un rapport avec un tout précis, d’où l’intérêt de toujours dire « de la caisse actuelle » ou « de la caisse de départ ».
Trouver combien d’objets correspondent à une fraction
Quand vous connaissez la fraction et le total, partagez le total en groupes égaux et prenez ceux qu’indique le numérateur. Si 2/5 de 30 perles sont vertes, chaque cinquième compte 30 ÷ 5 = 6 perles et deux cinquièmes en comptent 2 × 6 = 12. Le calculateur de fraction d’une quantité fait la même opération sous forme de produit, 2/5 × 30.
Quand vous comptez des pièces entières, la réponse doit être un nombre entier d’objets. Si vous obtenez 2,5 billes, relisez l’énoncé : la fraction est peut-être approchée, le total est peut-être autre, ou le problème parle d’une mesure et non d’un dénombrement. Une fraction supérieure à 1 peut multiplier une quantité, mais elle ne peut pas être la part d’un seul ensemble, car il n’y a pas plus d’objets choisis que d’objets dans l’ensemble.
Exemple résolu : des poires dans une caisse de fruits
Une caisse contient 18 fruits, dont 6 poires. Quelle fraction de la caisse représentent les poires ? Que change l’ajout de 6 pommes ?
- Comptez le total. La caisse contient 18 fruits, qui seront le dénominateur.
- Comptez la partie. Il y a 6 poires, qui seront le numérateur.
- Écrivez puis simplifiez. On divise 6/18 par 6 en haut et en bas, et on obtient 1/3.
- Changez le tout. Avec 6 pommes de plus, il y a 24 fruits, et les mêmes poires font 6/24 = 1/4.
Résultat. Les poires représentent 1/3 de la caisse, puis 1/4 après l’ajout des pommes.
Vérification. 1/3 de 18 vaut 6 et 1/4 de 24 vaut aussi 6 : les deux fractions décrivent donc les mêmes six poires.
Partie sur tout et partie sur partie
Dans un panier, il y a 3 boules rouges et 7 bleues. Les rouges représentent 3/10 du total, et le rapport entre rouges et bleues est 3 : 7. La première écriture prend le total pour dénominateur. La seconde compare deux groupes entre eux et n’est pas une fraction du panier. Pour passer d’un rapport à une fraction du total, additionnez d’abord les groupes : 3 + 7 = 10. L’outil quelle fraction représente une quantité calcule le quotient de la partie par le total, et rapport en fraction convertit une relation entre deux groupes.
Si des objets appartiennent à deux catégories à la fois, comptez-les une seule fois avant de former la fraction. Pour voir un même nombre comme partie, quotient, mesure, opérateur et rapport, lisez les significations de la fraction.
Pratique
Pour vous exercer, comptez les objets d’une collection à vous, changez le total sans changer la partie et observez comment la fraction se déplace. La représentation graphique permet d’explorer les ensembles à côté d’autres modèles.