Makna pecahan: bagian, hasil bagi, ukuran, perbandingan

calculadorafracciones.com · https://calculadorafracciones.com/id/panduan/makna-pecahan/

Makna pecahan seperti 3/4 ada lima dan bergantung pada pertanyaannya: bagian-keseluruhan (tiga dari empat bagian yang sama pada sebuah batang), hasil bagi (3 ÷ 4, seperti 3 piza dibagi kepada 4 orang), ukuran (titik 3/4 pada garis bilangan), operator (3/4 dari 20 = 15), dan perbandingan (3:4, yang membandingkan satu bagian dengan bagian lain dan menghasilkan 3/7 dari keseluruhan, bukan 3/4). Penulisan a/b sama pada kelima kasus; yang berubah adalah apa yang diwakili tiap angka dan operasi yang berguna.

Intinya

• Pecahan a/b yang sama memiliki lima tafsiran; tidak ada yang benar secara mutlak, pertanyaannya yang menentukan.
• Pada bagian-keseluruhan, keseluruhan adalah satuan, penyebut menetapkan berapa banyak bagian yang sama, dan pembilang menghitung bagian yang diambil.
• Sebagai hasil bagi, a/b adalah pembagian a ÷ b: 3 dibagi 4 memberi 3/4 per orang.
• Sebagai ukuran, 3/4 adalah titik tetap pada garis, dicapai dengan tiga langkah 1/4.
• Sebagai operator, 3/4 mengubah suatu jumlah: 20 ÷ 4 = 5 dan 5 × 3 = 15, jadi 3/4 dari 20 adalah 15.
• Sebagai perbandingan, 3:4 menghubungkan dua bagian; pecahan dari keseluruhan adalah 3/7, dan 3/7 ≠ 3/4.

Apa saja lima makna pecahan itu?

Pecahan ditafsirkan sebagai bagian-keseluruhan, hasil bagi, ukuran, operator, atau perbandingan. Kelimanya menjelaskan penulisan a/b yang sama dari pertanyaan yang berbeda. Tidak ada yang menggantikan yang lain: soal pembagian memerlukan hasil bagi, dan perbandingan antarkelompok memerlukan perbandingan. Untuk memeriksa hasil eksak dalam panduan ini, kalkulator pecahan memberi nilai tanpa pembulatan.

1. Bagian-keseluruhan: satuan dipotong menjadi b bagian yang sama dan a bagian diambil; menjawab “bagian berapa dari keseluruhan?”.
2. Hasil bagi: a/b sama dengan a ÷ b; menjawab “berapa yang diterima setiap orang jika a dibagi kepada b orang?”.
3. Ukuran: a/b adalah posisi yang dicapai dengan mengulang langkah 1/b dari 0; menjawab “di mana letaknya pada garis bilangan?”.
4. Operator: a/b bekerja pada suatu jumlah dengan mengalikannya; menjawab “berapa a/b dari bilangan ini?”.
5. Perbandingan: a:b membandingkan dua besaran sejenis; menjawab “dalam perbandingan berapa keduanya?”.

Perbedaan berguna yang pertama adalah antara pecahan yang menggambarkan keadaan (bagian-keseluruhan, ukuran) dan pecahan yang menyatakan tindakan (hasil bagi, operator). Perbandingan berdiri sendiri karena membandingkan dua besaran, bukan memotong satu besaran. Pengelompokan menjadi lima tafsiran ini dikaitkan dengan karya Thomas Kieren pada dasawarsa 1970-an dan penelitian lanjutan tentang subkonstruk bilangan rasional.

Bagian-keseluruhan: 3/4 dari sebuah batang

Pada tafsiran bagian-keseluruhan, keseluruhan adalah satuan dan penyebut menyatakan berapa bagian yang sama. Jika sebuah batang dipotong menjadi empat bagian sama dan tiga diwarnai, bagian yang diwarnai adalah 3/4 dari batang.

Misalkan batang itu panjangnya 1 meter. Setiap perempat berukuran 25 sentimeter, dan tiga bagian yang diwarnai berjumlah 75 sentimeter, karena 3/4 × 100 cm = 75 cm. Angka 3 tidak berubah ukuran: ia tetap menghitung perempat. Untuk meninjau peran tiap angka, panduan tentang pembilang dan penyebut menjelaskan keduanya secara terpisah.

Jika keseluruhannya bukan benda yang dipotong melainkan kumpulan unsur, tafsiran yang sama muncul sebagai pecahan dari himpunan: 3/4 dari 24 kancing adalah 18 kancing, karena 24 ÷ 4 = 6 dan 6 × 3 = 18. Panduan tentang pecahan dari himpunan membahas kasus itu.

Coba sendiri. Dua dari empat bagian sama pada sebuah batang diwarnai. Bagian yang diwarnai adalah 2/4 = 1/2. Penyebutnya tidak berubah, karena tiap bagian tetap seperempat; hanya banyaknya bagian yang diambil yang berubah.

Tafsiran bagian-keseluruhan menuntut bagian-bagian yang sama terhadap besaran yang diukur. Membagi bangun menjadi daerah dengan luas berbeda lalu menghitung dua dari empat tidak menghasilkan 2/4 dari luas. Panduan tentang keseluruhan yang sama mengumpulkan syarat yang harus dipenuhi.

Hasil bagi: 3 piza dibagi kepada 4 orang

Pada tafsiran hasil bagi, a/b adalah hasil dari pembagian a ÷ b. Jika 3 piza sama besar dibagi kepada 4 orang, setiap orang menerima 3 ÷ 4 = 3/4 piza. Angka itu tidak berasal dari menghitung bagian satu piza, melainkan dari pembagian.

Pembagian itu terlihat dengan memotong tiap piza menjadi empat potong sama. Setiap orang mengambil satu potong dari piza pertama, satu dari kedua, dan satu dari ketiga: 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4. Fakta bahwa potongannya berasal dari tiga piza berbeda tidak mengubah jumlahnya, karena semuanya perempat yang sama besar.

Contoh lazim. Lima batang sereal sama dibagi kepada 3 pendaki. Pembagiannya adalah 5 ÷ 3 = 5/3, yaitu 1 2/3 batang per orang. Hasil bagi dapat melebihi 1; tidak perlu dipaksa menjadi kurang dari satu. Alat pembagian pecahan menunjukkan langkah dari pembagian ke perkalian dengan kebalikan.

Ukuran: 3/4 sebagai titik pada garis bilangan

Pada tafsiran ukuran, a/b adalah bilangan dan menempati sebuah titik pada garis bilangan. Kita mencapai 3/4 dari 0 dengan tiga langkah 1/4; karena itu 3/4 lebih dekat ke 1 daripada ke 0.

Bedanya dengan bagian-keseluruhan adalah ukuran tidak memerlukan benda tertentu: 3/4 adalah titik pada garis, seperti 2/4 = 1/2 berada sebelumnya dan 5/4 = 1 1/4 sesudahnya. Kalkulator pecahan pada garis bilangan menempatkan titik dan tanda di antaranya.

Ada juga ukuran negatif. Lawan dari 3/4 adalah −3/4, di kiri 0, pada jarak yang sama. Dan pecahan tak wajar seperti 7/4 = 1 3/4 terletak antara 1 dan 2; nilainya 1,75. Garis itu memungkinkan membandingkan 3/4 dengan 2/3 tanpa menggambar batang: 3/4 lebih ke kanan dan lebih besar.

Coba sendiri. Titik apa yang dicapai dengan lima lompatan 1/4 dari 0? Titiknya 5/4 = 1 1/4, satu satuan lebih seperempat di kanan 0.

Operator: 3/4 dari 20 adalah 15

Pada tafsiran operator, a/b bekerja pada suatu jumlah. Untuk menghitung 3/4 dari 20, bagi 20 dengan penyebut lalu kalikan dengan pembilang: 20 ÷ 4 = 5 dan 5 × 3 = 15. Pecahan itu berfungsi sebagai perintah, bukan sebagai potongan yang digambar.

Prosedur yang sama setara dengan perkalian: 3/4 × 20 = (3 × 20) ÷ 4 = 60/4 = 15. Sebaiknya pilih urutannya sesuai angka. Dengan 20, membagi 4 lebih dahulu memberi bilangan bulat; dengan nilai lain, mengalikan lebih dahulu bisa lebih mudah. Kalkulator pecahan dari suatu jumlah menerapkan operator pada jumlah tak negatif mana pun dan mempertahankan satuannya.

Contoh mudah. 2/3 dari 18. Karena 18 ÷ 3 = 6, tiap pertiga bernilai 6; dua pertiga adalah 6 × 2 = 12. Contoh dengan hasil melebihi keseluruhan. 5/4 dari 20 adalah 25, karena 20 ÷ 4 = 5 dan 5 × 5 = 25: pecahan tak wajar memperbesar jumlah. Contoh dengan nol dan bilangan negatif. 3/4 dari 0 adalah 0, dan 3/4 dari −8 adalah −6, sebab 8 ÷ 4 = 2 dan 2 × 3 = 6, dengan tanda negatif.

Coba sendiri. Hitung 3/4 dari 2. Hasilnya 3/4 × 2 = 6/4 = 3/2 = 1 1/2. Masuk akal bahwa hasilnya kurang dari 2, karena 3/4 kurang dari 1.

Perbandingan: 3:4 dibandingkan bagian dari keseluruhan

Pada tafsiran perbandingan, a:b membandingkan dua besaran sejenis. Jika suatu kelompok memiliki 3 laki-laki untuk setiap 4 perempuan, perbandingan laki-laki:perempuan adalah 3:4. Kesalahan yang sering terjadi adalah membaca 3:4 sebagai 3/4 dari kelompok. Bukan begitu: perbandingan bagian-ke-bagian menjadi pecahan dari keseluruhan dengan menjumlahkan bagiannya, 3 + 4 = 7. Laki-laki adalah 3/7 dari kelompok dan perempuan 4/7; 3/7 ≠ 3/4.

Tabel itu menunjukkan bahwa 3:4 dan “3 dari 4” tidak menjelaskan hal yang sama. Pada 3:4, keseluruhannya 7 bagian; pada “3 dari 4”, keseluruhannya 4 bagian. Mengubah keseluruhan mengubah pecahannya. Panduan tentang perbandingan, proporsi, dan pecahan mengembangkan perbedaan ini, dan alat perbandingan ke pecahan mengubah satu bentuk ke bentuk lain.

Misalkan kelompok itu berisi 28 orang dan perbandingannya tetap 3:4. Karena ada 7 bagian sama, tiap bagian bernilai 28 ÷ 7 = 4; jadi ada 3 × 4 = 12 laki-laki dan 4 × 4 = 16 perempuan. Sebagai pecahan dari keseluruhan, 12/28 = 3/7 dan 16/28 = 4/7. Perbandingan tidak menyatakan berapa banyak; ia hanya menetapkan proporsinya.

Coba sendiri. Dalam sebuah kotak ada 3 sekrup untuk setiap 5 mur. Pecahan dari keseluruhan yang berupa sekrup adalah 3/(3 + 5) = 3/8. Bukan 3/5, karena 3:5 membandingkan sekrup dengan mur, bukan sekrup dengan keseluruhan.

Tabel perbandingan lima makna

Kolom pertanyaan yang menentukan. “Dari keseluruhan” meminta bagian-keseluruhan; “dibagi” meminta hasil bagi; “di mana” meminta ukuran; “dari suatu jumlah” meminta operator; “untuk setiap” atau “perbandingan” meminta perbandingan.

Bagaimana makna berubah pada soal yang sama?

Angka 3 dan 4 yang sama berubah makna menurut rumusan soalnya. Kata kerja dan kata depan adalah petunjuk utamanya:

• “Mereka memakan 3 dari 4 potong kue yang sama” adalah bagian-keseluruhan.
• “Tiga kue dibagi kepada 4 orang” adalah hasil bagi.
• “Tangki penuh sampai tanda 3/4” adalah ukuran.
• “3/4 dari 20 kursi terisi” adalah operator: 3/4 × 20 = 15 kursi.
• “Ada 3 kursi untuk setiap 4 meja” adalah perbandingan, bukan pecahan dari keseluruhan.

Kata “dari” biasanya menandakan operator bila diikuti bilangan (“3/4 dari 20”) dan bagian-keseluruhan bila diikuti benda dengan satuannya (“3/4 dari kue”). Itu bukan aturan mutlak, jadi sebaiknya sebutkan keseluruhannya sebelum menghitung. Kesamaran inilah sebabnya kalkulator berapa bagiannya menekankan penentuan satuan.

Mengapa diajarkan secara terpisah?

Tiap tafsiran menuntut kerja mental yang berbeda. Bagian-keseluruhan meminta membagi keseluruhan dan menghitung; hasil bagi meminta membagi rata dan membagi; ukuran meminta menelusuri garis; operator meminta mengalikan; perbandingan meminta menjumlahkan bagian dan membandingkan. Memisahkannya membantu agar prosedur yang dipakai sesuai dengan pertanyaannya.

Siapa pun yang selalu memakai tafsiran bagian-keseluruhan akan mencoba menyelesaikan “3/4 dari 20” dengan menggambar batang dan menghitung, bukan mengalikan. Kesalahannya bukan aritmetika, melainkan penafsiran. Menyebut maknanya sebelum berhitung mengurangi ketidaksesuaian itu.

Batasan: tafsirannya tumpang tindih dan bukan jenis

Kelima makna itu tumpang tindih. Titik 3/4 pada garis (ukuran) dan bagian yang diwarnai pada batang 3/4 (bagian-keseluruhan) dapat mewakili panjang yang sama. Pembagian 3 kepada 4 (hasil bagi) memberi bilangan yang sama dengan pecahan 3/4 yang ditulis sebagai hasil bagi. Pengelompokan itu memandu penafsiran, tetapi tidak menjadikan tiap kasus sebagai kategori yang saling eksklusif.

Kelimanya juga bukan pengelompokan jenis pecahan. Pecahan wajar, tak wajar, semu, atau satuan menjelaskan hubungan antara pembilang dan penyebut; kelima makna menjelaskan bagaimana pecahan ditafsirkan dalam konteks. Keduanya dua sumbu berbeda: pecahan tak wajar seperti 7/4 dapat berperan sebagai ukuran, operator, atau hasil bagi. Panduan tentang jenis pecahan membahas sumbu yang lain.

Perbandingan a:b tidak selalu menjadi pecahan a/(a+b). Bila perbandingannya adalah laju, seperti 60 kilometer untuk 1 jam, ia membandingkan besaran berbeda jenis dan lebih baik dibaca sebagai hasil bagi 60/1. Aturan menjumlahkan bagian berlaku untuk perbandingan bagian-ke-bagian antara besaran sejenis.

Kelima makna pecahan bermuara pada satu gagasan: sebutkan lebih dahulu keseluruhan dan pertanyaannya, lalu pilih tafsirannya. Hub faktor dan penyebut pecahan mengumpulkan alat FPB, KPK, dan penyebut bersama, dan di latihan pecahan kamu dapat memeriksa jawabanmu sendiri, dengan menerima pecahan senilai atau mewajibkan bentuk paling sederhana.