Cinq activités sur les fractions tiennent dans une séance de 40 minutes avec du papier, du ruban adhésif et une carte de recette. Chacune pose une question différente : qu’est-ce que le même tout, où se situe un nombre, comment une quantité change, quand une règle est valable et que peut-on comparer. Ce sont des propositions de travail à adapter à votre groupe, avec des réponses d’exemple pour discuter les raisonnements.
| Activité | Matériel | Minutes | Ce que le groupe doit expliquer |
|---|---|---|---|
| Bandes pliées | Deux bandes de papier | 8 | Pourquoi deux fractions différentes peuvent avoir la même valeur |
| Droite et cartes | Ruban et cinq cartes | 8 | Quelle distance à 0 indique chaque nombre |
| Recette agrandie | Une carte avec des quantités | 8 | Quel facteur change chaque quantité |
| Addition fausse | Deux cartes | 6 | Quelle étape échoue et comment le vérifier |
| Barres | Dessins sur papier | 5 | Ce que l’on compare : des nombres ou des longueurs |
Les durées font 35 minutes au total ; les 5 minutes restantes servent à fixer au début le sens du tout, et la conclusion a lieu dans le temps de chaque activité. Pour mettre vos idées en ordre avant et après la séance, le guide enseigner les fractions explique la progression et la raison d’être de chaque représentation, et la page des ressources pour enseignants rassemble le matériel à imprimer.
Plier des bandes pour voir les équivalences
Pliez une bande de papier en deux et coloriez une part. Pliez une autre bande identique en quatre parts égales et coloriez-en deux. Alignez les deux bandes par l’extrémité gauche et demandez : « Quelle part de chaque bande est coloriée ? Les zones coloriées ont-elles la même longueur ? »
La première bande montre 1/2 et la seconde 2/4. Les deux représentent le même tout, donc les zones coloriées ont la même longueur : ce sont des fractions équivalentes. Le contrôle numérique consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par 2. Pour essayer un autre couple, demandez 3/4 et 6/8 avec des bandes de même taille.
Une question sépare deux idées : « Quatre parts valent-elles le double de deux parts ? » Non, car chaque quart est la moitié d’une moitié. Et si une bande mesure 12 cm et l’autre 16 cm, la fraction est la même, mais les longueurs coloriées seraient de 6 cm et de 8 cm. L’équivalence concerne le nombre, pas la longueur physique.
Placer des cartes sur une droite que l’on peut prolonger
Préparez du ruban adhésif, cinq cartes portant 1/4, 5/4, 3/2, 7/4 et −1/2, et des repères visibles pour 0 et 1. Laissez de la place des deux côtés, car la droite ne s’arrête pas aux repères de départ. La consigne est : « Placez chaque carte et justifiez sa distance depuis 0. »
Si le segment de 0 à 1 est partagé en quatre parts égales, 1/4 se place au premier repère. Un quart après 1 se trouve 5/4, c’est-à-dire 1 + 1/4 ; 3/2 est à mi-chemin entre 1 et 2, et 7/4 à un quart de 2. À gauche de 0, une demi-unité en arrière donne −1/2. Avant de conclure, mesurez : le segment de 0 à 1 et celui de 1 à 2 doivent être égaux.
Une erreur possible est de placer 5/4 au cinquième repère d’une graduation en cinq parts entre 0 et 1. Demandez de nommer la valeur de chaque intervalle ; ce cinquième repère vaut 1. Une fraction peut être supérieure à l’unité ou négative, et la droite graduée interactive permet de confronter les positions après la discussion.
Agrandir une recette de 4 à 6 portions
Écrivez sur une carte une recette fictive : 4 portions demandent 3/4 de litre d’eau et 1/8 de litre d’huile. On prépare maintenant 6 portions avec la même quantité par portion. Avant de calculer, demandez s’il faudra plus ou moins d’eau que pour 4 portions.
Exemple résolu : l’eau de la recette
Une recette pour 4 portions utilise 3/4 de litre d’eau. Quelle quantité d’eau faut-il pour 6 portions ?
- Calculez le facteur. 6 portions divisées par 4 portions donnent 6/4, qui se simplifie en 3/2.
- Multipliez la quantité par le facteur. 3/4 × 3/2 = 9/8.
- Passez au nombre mixte si cela aide. 9/8 = 1 1/8 L.
- Appliquez le même facteur à l’huile. 1/8 × 3/2 = 3/16 de litre.
Résultat : 1 1/8 L d’eau et 3/16 de litre d’huile.
Vérification. Chaque portion demande (3/4) ÷ 4 = 3/16 de litre d’eau. Six portions font 18/16, soit 9/8.
En prolongement, demandez : « Et si nous ajoutions 2 litres à chaque quantité ? » Cette addition ne conserve pas les proportions de la recette, car l’huile serait multipliée par plus de dix et l’eau par moins de quatre. Le changement d’échelle multiplie tout par le même facteur. Pour passer en grammes, il faut une équivalence propre à chaque ingrédient : un litre d’eau et un litre d’huile n’ont pas la même masse. Avec les unités sous les yeux, ajuster des recettes permet de refaire le changement avec d’autres chiffres.
Enquêter sur une addition fausse
Écrivez l’addition fausse « 1/3 + 1/4 = 2/7 » sur une carte et laissez-en une autre vierge pour la correction. Présentez-la comme un calcul à contrôler, sans dire qui l’a fait. La consigne est : « Trouvez l’étape qui échoue et donnez une vérification qui ne refasse pas le calcul. »
Demandez à la classe de trouver quelle règle produit 2/7 et de montrer, en comparant 2/7 à 1/3, qu’elle ne peut pas être correcte. Il convient ensuite de tester la règle inverse, « on n’additionne jamais les numérateurs », qui est fausse aussi : 2/5 + 1/5 = 3/5. On additionne les numérateurs quand les parts ont la même taille ; sinon, on les convertit d’abord en parts comparables. L’entraînement aux fractions propose d’autres additions à expliquer.
Comparer des dessins et décider ce que l’on compare
Dessinez deux barres de même taille. Partagez la première en trois parts égales et coloriez-en deux ; partagez la seconde en cinq et coloriez-en trois. Demandez laquelle a la plus grande partie coloriée. Les fractions sont 2/3 et 3/5 ; en quinzièmes, 2/3 = 10/15 et 3/5 = 9/15, donc 2/3 est plus grand.
Changez ensuite la taille des barres. L’ordre de 2/3 et 3/5 ne bouge pas, mais la longueur coloriée, si. 2/3 d’une barre de 6 cm font 4 cm, et 3/5 d’une barre de 10 cm font 6 cm. La seconde zone est plus longue bien que sa fraction soit plus petite. Demandez d’indiquer le tout avant de comparer, et contrôlez les résultats avec représenter des fractions.
Une séance de 40 minutes
Commencez par 5 minutes pour fixer le sens du tout et écrivez trois questions au tableau : quel est le tout, quelle est la taille de chaque part et que vérifie la réponse. Suivez ensuite l’ordre du tableau. Dans chaque activité, demandez une prévision, le calcul ou le dessin, puis une vérification. C’est une répartition suggérée ; consacrez plus de temps à l’étape que le groupe doit expliquer, et consultez pourquoi les fractions doivent se rapporter au même tout si cette idée pose problème.
Pour conclure, dans le temps de chaque activité, choisissez une réponse par activité et demandez de nommer le tout, ce que représente chaque part et comment on vérifie. Si une réponse change quand le contexte change, faites indiquer quelle condition a changé.
Questions de sortie
- Écrivez une fraction équivalente à 1/2 qui a pour dénominateur 8.
- Une bande mesure 12 cm. Combien mesurent 5/6 de la bande ?
- La bande mesure maintenant 18 cm. Combien mesurent 5/6 de la bande ?
Voir les réponses
- 4/8, car 1/2 = 4/8 en multipliant le numérateur et le dénominateur par 4.
- 10 cm : chaque sixième mesure 2 cm et on en prend cinq.
- 15 cm : chaque sixième mesure 3 cm. La fraction est la même, mais le tout a changé (12 cm contre 18 cm), donc la partie mesurée a changé aussi.
Si quelqu’un répond 5 cm à la deuxième question en ne regardant que le numérateur, ou 2 cm en s’arrêtant à un seul sixième, demandez combien mesure chaque sixième et combien de sixièmes on prend. Si la réponse n’a pas d’unité, ajoutez les centimètres.
Changer le soutien, pas la question
Si plier en parts égales est difficile, donnez une bande déjà graduée et demandez d’étiqueter les parts. Quand la représentation est comprise, faites dessiner un autre couple équivalent, comme 4/10 et 2/5. Sur la droite, commencez seulement avec 0, 1 et 2, et ajoutez les nombres négatifs ou supérieurs à 1 quand l’échelle est régulière.
Dans la recette, laissez les unités visibles et utilisez un facteur simple. Dans la comparaison, ne changez la taille des touts qu’après avoir résolu avec un tout commun, pour séparer deux objectifs : ordonner des fractions et mesurer des quantités. Pour le travail en binôme, une personne dessine ou plie et l’autre vérifie le tout, l’égalité des parts et la fraction écrite ; puis elles échangent les rôles. Si le matériel compte beaucoup de feuilles, créer des fiches de fractions explique comment les préparer.