Fünf Bruchaktivitäten passen in eine Unterrichtsstunde von 40 Minuten, mit Papier, Klebeband und einer Rezeptkarte. Jede stellt eine andere Frage: Was ist das gleiche Ganze, wo liegt eine Zahl, wie verändert sich eine Menge, wann gilt eine Regel und was lässt sich vergleichen? Es sind Arbeitsvorschläge, die du an deine Gruppe anpassen kannst, mit Beispielantworten, an denen sich Begründungen besprechen lassen.
| Aktivität | Material | Minuten | Was die Gruppe erklären soll |
|---|---|---|---|
| Gefaltete Streifen | Zwei Papierstreifen | 8 | Warum zwei verschiedene Brüche gleich viel wert sein können |
| Zahlenstrahl mit Karten | Klebeband und fünf Karten | 8 | Welchen Abstand zu 0 jede Zahl angibt |
| Vergrößertes Rezept | Eine Karte mit Mengen | 8 | Mit welchem Faktor sich jede Menge ändert |
| Falsche Summe | Zwei Karten | 6 | Welcher Schritt falsch ist und wie man das prüft |
| Balken | Zeichnungen auf Papier | 5 | Was verglichen wird: Zahlen oder Längen |
Die Zeiten ergeben 35 Minuten; die übrigen 5 sind für den Einstieg, in dem die Bedeutung des Ganzen geklärt wird. Der Abschluss geschieht innerhalb der Zeit jeder Aktivität. Um die Ideen vor und nach der Stunde zu ordnen, erklärt der Ratgeber Brüche unterrichten die Abfolge und den Grund jeder Darstellung, und die Seite Lehrmaterial sammelt druckbare Materialien.
Streifen falten, um Gleichwertigkeit zu sehen
Falte einen Papierstreifen in der Mitte und färbe einen Teil. Falte einen zweiten, gleich langen Streifen in vier gleiche Teile und färbe zwei. Lege beide am linken Ende bündig aneinander und frage: „Welcher Teil jedes Streifens ist gefärbt? Sind die gefärbten Stücke gleich lang?“
Der erste Streifen zeigt 1/2, der zweite 2/4. Beide stellen dasselbe Ganze dar, also sind die gefärbten Stücke gleich lang: Es sind gleichwertige Brüche. Rechnerisch prüfst du das, indem du Zähler und Nenner mit 2 multiplizierst. Für ein weiteres Paar lässt du 3/4 und 6/8 mit Streifen gleicher Größe legen.
Eine Frage trennt zwei Ideen: „Sind vier Teile doppelt so viel wert wie zwei?“ Nein, denn jedes Viertel ist die Hälfte einer Hälfte. Und ist ein Streifen 12 cm lang und der andere 16 cm, bleibt der Bruch derselbe, die gefärbten Längen wären aber 6 cm und 8 cm. Gleichwertigkeit betrifft die Zahl, nicht die körperliche Länge.
Karten auf einen erweiterbaren Zahlenstrahl legen
Bereite Klebeband, fünf Karten mit 1/4, 5/4, 3/2, 7/4 und −1/2 und gut sichtbare Markierungen für 0 und 1 vor. Lass auf beiden Seiten Platz, denn der Strahl endet nicht an den ersten Marken. Die Aufgabe lautet: „Lege jede Karte und begründe ihren Abstand von 0.“
Teilst du die Strecke von 0 bis 1 in vier gleiche Teile, liegt 1/4 an der ersten Marke. Ein Viertel hinter der 1 liegt 5/4, also 1 + 1/4; 3/2 liegt in der Mitte zwischen 1 und 2, und 7/4 ein Viertel vor der 2. Links von 0 ergibt eine halbe Einheit rückwärts −1/2. Miss vor dem Abschluss nach: Die Strecken von 0 bis 1 und von 1 bis 2 müssen gleich lang sein.
Ein möglicher Fehler ist, 5/4 an die fünfte Marke einer Skala mit fünf Teilen zwischen 0 und 1 zu setzen. Lass benennen, wie viel jedes Intervall wert ist; diese fünfte Marke steht für 1. Ein Bruch kann größer als die Einheit oder negativ sein, und der Zahlenstrahl für Brüche hilft, die Positionen nach der Diskussion zu überprüfen.
Ein Rezept von 4 auf 6 Portionen vergrößern
Schreibe auf eine Karte ein erfundenes Rezept: 4 Portionen brauchen 3/4 l Wasser und 1/8 l Öl. Nun werden 6 Portionen mit derselben Menge je Portion zubereitet. Frage vor dem Rechnen, ob mehr oder weniger Wasser nötig ist als für 4 Portionen.
Lösungsbeispiel: das Wasser im Rezept
Ein Rezept für 4 Portionen verwendet 3/4 l Wasser. Wie viel Wasser braucht man für 6 Portionen?
- Berechne den Faktor. 6 Portionen geteilt durch 4 Portionen ist 6/4, gekürzt 3/2.
- Multipliziere die Menge mit dem Faktor. 3/4 × 3/2 = 9/8.
- Schreibe als gemischte Zahl, wenn es hilft. 9/8 = 1 1/8 l.
- Wende denselben Faktor auf das Öl an. 1/8 × 3/2 = 3/16 l.
Ergebnis: 1 1/8 l Wasser und 3/16 l Öl.
Probe: Jede Portion enthält (3/4) ÷ 4 = 3/16 l Wasser. Sechs Portionen sind 18/16, genau wie 9/8.
Frage anschließend: „Und wenn wir zu jeder Menge 2 l addieren?“ Diese Addition erhält das Mengenverhältnis nicht, denn das Öl würde sich mehr als verzehnfachen und das Wasser weniger als vervierfachen. Beim Skalieren wird alles mit demselben Faktor multipliziert. Mit den Einheiten vor Augen kannst du die Änderung im Rechner Rezepte umrechnen mit anderen Zahlen wiederholen.
Eine falsche Summe untersuchen
Schreibe die Aufgabe 1/3 + 1/4 mit dem falschen Ergebnis 2/7 auf eine Karte und lege eine zweite leere für die Korrektur bereit. Stelle die Rechnung als Aufgabe zum Überprüfen vor, ohne zu sagen, wer sie gemacht hat. Die Aufgabe lautet: „Finde den falschen Schritt und gib eine Probe an, die die Rechnung nicht einfach wiederholt.“
Lass die Klasse herausfinden, welche Regel 2/7 liefert, und durch den Vergleich von 2/7 mit 1/3 zeigen, dass sie nicht stimmen kann. Danach lohnt es sich, die Gegenregel „Zähler addiert man nie“ zu testen, die ebenfalls falsch ist: 2/5 + 1/5 = 3/5. Zähler addiert man, wenn die Teile gleich groß sind; sonst wandelt man zuerst in vergleichbare Teile um. Brüche üben bietet weitere Summen zum Erklären.
Zeichnungen vergleichen und entscheiden, was verglichen wird
Zeichne zwei gleich große Balken. Teile den ersten in drei gleiche Teile und färbe zwei; teile den zweiten in fünf Teile und färbe drei. Frage, welcher Balken den größeren gefärbten Teil hat. Die Brüche sind 2/3 und 3/5; mit Fünfzehnteln ist 2/3 = 10/15 und 3/5 = 9/15, also ist 2/3 größer.
Ändere danach die Größe der Balken. Die Reihenfolge von 2/3 und 3/5 bleibt gleich, die gefärbte Länge aber nicht: 2/3 eines 6-cm-Balkens sind 4 cm, und 3/5 eines 10-cm-Balkens sind 6 cm. Das zweite Stück ist länger, obwohl sein Bruch kleiner ist. Lass das Ganze vor dem Vergleichen benennen und prüfe die Ergebnisse mit Brüche darstellen.
Eine Stunde in 40 Minuten
Beginne mit 5 Minuten, um die Bedeutung des Ganzen zu klären, und schreibe drei Fragen an die Tafel: Was ist das Ganze, wie groß ist jeder Teil und was prüft die Antwort? Danach folgst du der Reihenfolge der Tabelle. Verlange in jeder Aktivität eine Vorhersage, die Rechnung oder die Zeichnung und eine Probe. Das ist eine Zeitverteilung als Vorschlag; gib dem Schritt mehr Zeit, den die Gruppe erklären muss, und lies warum Brüche sich auf dasselbe Ganze beziehen müssen, wenn diese Idee schwerfällt.
Zum Abschluss, innerhalb der Zeit jeder Aktivität, wähle aus jeder Aktivität eine Antwort und lass benennen, was das Ganze ist, wofür jeder Teil steht und wie man prüft. Ändert sich eine Antwort mit dem Zusammenhang, sollen sie sagen, welche Bedingung sich geändert hat.
Fragen zum Abschluss
- Schreibe einen zu 1/2 gleichwertigen Bruch mit dem Nenner 8.
- Ein Streifen ist 12 cm lang. Wie lang sind 5/6 des Streifens?
- Der Streifen ist jetzt 18 cm lang. Wie lang sind 5/6 des Streifens?
Antworten anzeigen
- 4/8, denn 1/2 = 4/8, wenn man oben und unten mit 4 multipliziert.
- 10 cm: Jedes Sechstel ist 2 cm lang, und man nimmt fünf.
- 15 cm: Jedes Sechstel ist 3 cm lang. Der Bruch ist derselbe, aber das Ganze hat sich geändert (12 cm gegenüber 18 cm), also hat sich auch der gemessene Teil geändert.
Antwortet jemand bei der zweiten Frage 5 cm, weil nur der Zähler beachtet wurde, oder 2 cm, weil nur ein Sechstel genommen wurde, frage, wie lang jedes Sechstel ist und wie viele Sechstel man nimmt. Fehlt der Antwort die Einheit, ergänze die Zentimeter.
Ändere die Stütze, nicht die Frage
Fällt das Falten in gleiche Teile schwer, gib einen bereits markierten Streifen und lass die Teile beschriften. Ist die Darstellung verstanden, sollen die Lernenden ein weiteres gleichwertiges Paar zeichnen, etwa 4/10 und 2/5. Beginne am Zahlenstrahl nur mit 0, 1 und 2 und füge negative Zahlen oder Zahlen größer als 1 hinzu, wenn die Skala gleichmäßig ist.
Lass im Rezept die Einheiten sichtbar und wähle einen einfachen Faktor. Ändere beim Vergleich die Größe der Ganzen erst, nachdem mit einem gemeinsamen Ganzen gerechnet wurde, um zwei Ziele zu trennen: Brüche ordnen und Mengen messen. In Partnerarbeit zeichnet oder faltet eine Person, und die andere prüft das Ganze, die Gleichheit der Teile und den geschriebenen Bruch; danach tauschen beide die Rollen. Wenn das Material viele Blätter umfasst, erklärt Bruch-Arbeitsblätter erstellen, wie du sie vorbereitest, und Brüche üben hat Aufgabenreihen zum anschließenden Üben.
Quellen
Die Aufgabenstellungen dieser Seite sind eigene Entwürfe. Math Is Fun: Brüche behandelt unter anderem anschauliche Modelle und Bruchrechnen.